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Poly-logarithmic Randomized Bellman-Ford (2/2)
Introduction 지난 글에 이어 Bringmann 2023의 near-linear time shortest single source path (SSSP) 문제를 해결하는 부분을 더 다루어보도록 하겠습니다. 간선의 가중치가 $-W^{-}$ 이상인 weighted digraph에 대해 $\mathcal{O}(\log^{2} n \log(nW))$ 번의 dijkstra algorithm으로 shortest path tree, negative cycle 중 하나를 반환하는 문제입니다. 지난 글에서는 다음의 특수한 조건을 만족하는 Restricted SSSP (RSSSP)를 $\mathcal{O}(\log^{2} n)$ 번의 dijkstra algorithm으로 해결하는 Las-Vegas algorithm을 소개하였습니다. Definition. Directed graph $G$에 어떤 정점 $s \in V(G)$가 존재하여 다음을 만족하면 $G$를 restricted graph라고 한다....
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Poly-logarithmic Randomized Bellman-Ford (1/2)
Introduction Single-Source Shortest Path (SSSP) 문제는 알고리즘 입문에서부터 다루는 아주 기초적이고, 또 중요한 문제입니다. 엄밀하게 적자면, $n$개의 정점과 $m$개의 가중치 있는 단방향 간선을 갖는 그래프 $G$와 시작 정점 $s$가 주어질 때, 모든 점 $i$에 대해 $s$에서 $i$로 가는 최단 경로의 길이 $\mathrm{dist}(s, i)$ 를 묻는 문제입니다. 일반적으로 가중치가 모두 양수인 경우에 사용할 수 있는 Dijkstra’s algorithm과 가중치의 값과 무관하게 사용할 수 있는 Bellman-Ford algorithm이 가장 유명합니다. 각각의 시간 복잡도는 $\mathcal{T}[\text{Dijkstra}]$: Practical한 선에서 $O(m \log n).$...
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Probabilistic Method
그래프 이론과 확률. 왠지 어울리지 않을 것 같은 두 개념을 처음으로 엮은 것은 헝가리의 수학자 폴 에르되시 (Paul Erdős)였습니다. 그는 확률을 이용해서 그래프 이론과 조합론 분야의 정리를 증명하는 “확률론적 방법론” (Probabilistic Method)을 창안했습니다. 이번 글에서는 확률론적 방법론이 어떤 방식의 증명 방법인지 몇 가지 정리를 통해 알아봅시다. $ \renewcommand{\Pr}{\mathbf{Pr}} \newcommand{\Ex}{\mathbf{E}} $ Warm-Up: 2-Colorable Hypergraphs 다음을 증명해 봅시다. Problem. 집합 $S$가 있고, $S$의 부분집합 $m$개가 있다. 이 부분집합들은 모두 크기가 $k$ 이상이다. $m<2^{k-1}$일 때, $S$의 원소들을 빨강이나...