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Using linear-optical quantum computing model to prove #P-hardness of Permanent
Introduction 지난 달 작성한 글과, 최근 진행하는 project-hardness 스터디를 진행하면서 $\sharp P$-hardness에 대한 내용을 자주 다루었습니다. 하지만 $\sharp P$라는 complexity가 고안된 근본적인 이유와도 같은 permanent에 대해서는 언급하지 않았습니다. Shortest Even Cycle Problem을 다룬 문제에서 지나가듯 이야기했지만 길게 이야기하지 않았죠. 실제로 이 문제를 해결한 Valiant(1979)의 논문은 3000회가 넘는 인용수를 기록했으며, Permanent를 비롯한 수많은 복잡도 이론에 대한 공헌으로 Valiant은 튜링상까지 수상하게 됩니다. 이런 위대한 업적에도 불구하고 Valiant이 어떤 아이디어로 Permanent의 hardness를 증명했는지는 비교적 알려져 있지 않은데, 문제...
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The number of topological sorts in DAG, AND polytope centroid
Introduction 문제를 풀다 보면 “조건을 만족하는 해 $x$를 찾아라” 라는 문제는 쉽게 풀 수 있지만, “조건을 만족하는 해 $x$의 개수를 찾아라” 라는 문제가 유독 어려운 경우가 많습니다. 대표적으로 2-SAT은 다항 시간 안에 해를 찾을 수 있지만, 2-SAT의 조건을 모두 만족하는 해의 개수를 찾는 것은 매우 어렵다는 것이 알려져 있습니다. 비슷하게 이분그래프의 완전 매칭은 다항 시간 안에 찾을 수 있지만, 완전 매칭의 개수를 구하는 것은 permanent라는 계산하기 어려운 식과 동치가 됩니다. 오늘 다룰 주제는 Directed Acyclic...
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SAT problem의 변형과 Schaefer’s Dichotomy Theorem
Boolean Formula, SAT $(x \lor \neg y) \land (\neg x \lor z)$와 같은 식을 Boolean formula라 한다. Boolean formula의 변수(variable)는 True/False (또는 1/0이라고도 한다)의 두가지 값만을 가질 수 있다. 위 boolean formula의 variable은 $x, y, z$이다. 각 연산자에 대해 알아보면 $\lor$ 와 $\land$는 각각 logical OR(disjunction)/ logical AND (conjunction)를 나타내고, $\neg$(negation)는 NOT을 나타내는 연산자로 피연산자가 True였다면 False로, False였다면 True로 바꿔주는 역할을 한다. 식에서 각각의 항 $x, \neg y, \neg x, z$는 literal이라 한다. $x, y$와...
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Karp의 21대 NP-완전 문제
Richard Karp는 알고리즘의 선두를 이끈 인물 중 한 명입니다. Problem solving을 하는 사람들에게는 Edmonds-Karp 최대 유량, Hopcroft-Karp 이분 매칭, Rabin-Karp 부분문자열 탐색 등으로 잘 알려져 있는데, 이 분의 업적으로 NP-완전성을 빼놓을 수 없습니다. 배경 지식 P, NP, 다항 시간 환원, 그리고 NP-완전 문제에 대해서는 koosaga님의 글 계산 복잡도 위계와 불리언 식의 “QBF 문제” 직전까지를 참조해 주시기 바랍니다. NP-완전 문제 1971년, Stephen Cook은 The complexity of theorem proving procedures 논문에서 “비결정적 튜링 기계로 다항 시간에 결정할...
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Parametrized inapproximability for Steiner Orientation by Gap Amplification
Parametrized inapproximability for Steiner Orientation by Gap Amplification 이 글에서는 k-STEINER ORIENTATION 문제와 MAX (k, p)-DIRECTED MULTICUT 문제에 대한 FPT hardness result를 소개하는 논문을 정리한다. 먼저, k-STEINER ORIENTATION 문제는 다음과 같이 정의된다: 입력: mixed graph $G$ 와 $k$ 개의 terminal pair $T_G = {(s_1, t_1), (s_2, t_2), \ldots, (s_k, t_k)}$ (mixed graph 는 무방향 간선과 방향성 간선이 둘 다 존재할 수 있는 그래프를 뜻한다.) 출력: $G$ 의 모든 무방향 간선에 방향성을 주어서, $s_i \rightarrow t_i$...
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FPT Inapproximability of Directed Multicut
FPT Inapproximability of Directed Multicut 그래프의 연결성, 그리고 연결성을 변화시키는 방법 (그래프 절단) 은 알고리즘 연구의 극초창기부터 연구되었던 문제들이다. 그래프 절단은 냉전 초기 공중폭격으로 적국의 철도망을 파괴하는 군사적인 목적으로 연구가 시작되었다. 이후 반세기 이상 이러한 류의 문제는 그래프에 대한 최적화 문제 중 가장 기초적인 문제로 자리잡는다. 이 문제는 이론적으로도 다른 문제의 근간이 되며, 무수히 많은 현실적 계산 문제와 연관되어 있다. 그래프 절단 유형의 문제로는 크게 다음과 같은 4가지 종류가 있다. 이하 특정한 언급 없을 시,...