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Iterated Rounding을 이용해 Degree Bounded T-join 문제 해결하기
Introduction $T$-join 문제는 가중치 있는 무향 그래프 $G = (V, E, c)$ 와 짝수 크기의 정점의 부분집합 $T \subseteq V$ 가 주어질 때, $T$에 속하는 정점의 차수는 홀수, 그 외 정점의 차수는 짝수가 되게 하는 최소 비용의 $J \subseteq E$ 를 찾는 문제이다. 이 문제는 다양한 응용이 있으며, 대표적인 예로는 중국인 우채부 문제(Chinese Postman Problem)와 외판원 문제(TSP)에 대한 Christofides Algorithm이 있다. 과거 필자가 소개한 $s$-$t$ 경로 외판원 문제의 근사 알고리즘 또한 $T$-join 문제를 이용해 해결하였다....
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Moving Least Squares Projection
Point Based Graphics Point Based Graphics는 컴퓨터 그래픽스의 한 분야로, 기존의 다각형 기반으로 형상을 모델링하는 기법인 Polygon Based Graphics와 달리 점들을 사용하여 3D 객체의 표면을 표현하는 기법입니다. 각 점은 위치 뿐만 아니라 그 지점의 색상과 텍스쳐 등 다양한 속성도 가질 수 있습니다. 여기서 객체를 표현하는데 사용된 점들의 집합을 Point Cloud라고 합니다. 이 Point Cloud가 조밀할수록 더욱 세밀한 형태를 표현할 수 있습니다. Point Based Graphics는 복잡한 형상을 기존 기법보다 더 효율적이고 자세하게 표현할 수 있다는 장점이...
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IMO 조합 문제를 DP로 풀어보자
저번 글에 이어 이번에도 IMO(국제 수학 올림피아드)와 관련된 주제를 가져왔습니다. 오늘은 아마도 이 글을 읽는 분들이 가장 익숙하실 조합 문제들을 다뤄보려고 합니다. 최근 들어 PS에서 다루는 다양한 알고리즘적 사고를 요구하는 문제들이 수학 올림피아드에도 출제되고 있습니다. 특히 DP(점화식)를 이용하는 문제가 최근 2년 연속 IMO에 출제되며 큰 관심을 끌었습니다. 이번 글에서는 이 두 문제의 풀이를 간단히 소개해보려 합니다. IMO 2022 P6 양의 정수 $n$이 있다. 노르딕 사각형이란 $n\times n$ 모양의 판으로 각 칸에 $1$부터 $n^2$까지의 수가 하나씩...
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Polya's Enumeration Theorem을 이용한 카운팅 문제 해결
개요 Polya’s Enumeration Theorem(포여 열거 정리)는 어떤 작용에 대한 equivalence class의 개수를 구할 때 사용됩니다. 대표적인 예시로 돌리거나 뒤집어서 같은 것을 하나로 볼 때, 서로 다른 목걸이의 개수를 구하는 문제가 있습니다. 이 글에서는 Burnside Lemma와 그것의 일반화인 Polya’s Enumeration Theorem을 소개한 후 이를 적용하여 문제를 해결하는 과정을 서술하겠습니다. 관련 문제는 백준 문제집 또는 알고리즘 분류에서 찾아볼 수 있습니다. 해당 태그를 가진 문제가 9문제에 불과한 만큼 CP에서 자주 등장하는 주제는 아닙니다. 그렇지만 특정 형태의 카운팅 문제를...
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카운팅 테크닉
개요 AtCoder에서 문제를 풀다 보면 백준 온라인 저지나 한국의 대학생 대회에서와 다르게 경우의 수, 기댓값, 확률을 묻는 조합론 문제들이 더 자주 등장한다는 사실을 관찰할 수 있습니다. 한 대회에 출제된 문제 절반 이상에서 $\pmod{998244353}$이 등장해서 너무 과하다고 느껴질 때도 있을 정도입니다. 이 글에서는 제가 문제를 풀면서 자주 보았던 유형들을 몇 가지 선정해서 소개해 보려고 합니다. 각 유형마다 이를 해결하는 테크닉을 소개(널리 통용되는 이름이 없다면 적당히 이름을 붙였습니다)하고, 연습 문제로 AtCoder Regular Contest에서 등장했던 문제를 2개씩 선정했습니다....
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플로우 그래프 커팅
개요 Problem Solving을 하다 보면, 주어진 문제에서 플로우 그래프를 모델링했을 때 그래프의 크기가 너무 커서 단순히 플로우 알고리즘을 사용할 경우에 시간 초과를 받게 되는 상황이 종종 발생합니다. 이 글에서는 위와 같은 상황에서 추가적인 관찰을 통해 플로우 그래프의 크기를 줄이는 몇 가지 방법을 소개합니다. 문제마다 필요한 관찰과 해결 방법이 제각기 다를 수 있으므로 다양한 연습 문제를 예시로 들어서 설명하겠습니다. 디닉 알고리즘의 구현체를 통일하기 위해 AtCoder Library의 MaxFlow를 사용하겠습니다. 연습 문제 AtCoder Beginner Contest 320 G. Slot...
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Number Theory Techniques
https://www.acmicpc.net/category/detail/4072 해당 링크는 12월 3일에서 12월 10일까지 열렸던 BOJ Bundle이라는 백준 커뮤니티 대회이다. 이번 글에서는 대회에 사용되었던 정수론 테크닉들을 몇 개 소개해보려 한다. F. Queens’ Rye Cafe 요약: 분모가 $N$이하인 $[0, 1]$의 기약분수들을 정렬하였을 때, $a/b$의 $j$번째 다음 항을 구해야 한다. Farey Sequence의 성질을 이용하는 문제이다. 특히 이번 ICPC 2023 예선 G에 출제되면서 더욱 유명해진 것 같다. Farey Sequence란 정렬된 기약분수의 수열을 생성하는 방법이다. 기본적으로 두 기약분수 $(0/1, 1/1)$에서 시작한다. 매 차례마다 두 기약분수 $a/b$와...
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Taylor Shift, Sampling Points Shift
개요 최근에 Polynomial Shift를 사용하는 문제를 여러 대회에서 보았기 때문에 이 글을 작성하게 되었습니다. 다항식 $f(x)$와 정수 $c$가 주어졌을 때 새로운 다항식 $f(x+c)$를 구하는 것을 Taylor Shift라고 부릅니다. $N$차 미만의 다항식 $f(x)$가 숨겨져 있고 값 $f(0), f(1), \cdots, f(N-1)$과 정수 $c,M$이 주어졌을 때 $f(c), f(c+1), \cdots, f(c+M-1)$을 구하는 것을 Sampling Points Shift라고 부릅니다. 위의 두 문제는 조합론 문제를 해결할 때 종종 유용한 도구가 되어 줍니다. 두 문제 모두 단순하게 풀면 너무 느리지만, FFT를 사용한다면 효율적으로...
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Relaxed Convolution (2)
개요 이전에 작성한 글에서는 Relaxed Convolution의 개념과 성질, 구현 방법에 대해서 다루었습니다. 이 글에서는 Relaxed Convolution을 Problem Solving에 활용하는 방법을 다룹니다. 연습 문제 AtCoder Beginner Contest 213 H. Stroll 문제 정점이 $N$개이고 간선이 매우 많은 무방향 그래프가 주어집니다. 간선 집합은 다음과 같은 방식으로 정의됩니다. $0 \leq i < M, 1 \leq d \leq T$를 만족하는 모든 $(i,d)$ 쌍에 대해, 두 정점 쌍 $(a_i, b_i)$를 잇는 길이가 $d$인 간선이 $p_{i,d}$개 존재합니다. 이 그래프의 $1$번 정점에서 출발해서...
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CDQ Divide and Conquer, Relaxed Convolution
개요 CDQ Divide and Conquer는 중국 프로그래머 CDQ의 이름을 딴 분할정복 기법의 일종입니다. 딱히 이름이 붙을 정도로 거창한 기법은 아니지만, 이후에 다룰 Relaxed Convolution의 이해를 돕기 위해 간단하게 소개하겠습니다. Relaxed Convolution은 CDQ Divide and Conquer를 사용해서 Convolution을 온라인으로 처리하는 알고리즘으로, Online Convolution, Online FFT, Relaxed Multiplication, Divide and Conquer FFT 등의 다양한 이름으로 불리기도 합니다. 이 글에서는 Relaxed Convolution이라는 용어를 일관적으로 사용하겠습니다. 이 글은 FFT의 작동 원리를 이해하지 않고 빠른 다항식 곱셈 라이브러리를 blackbox로 사용하더라도...
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Heavy-Light Decomposition Recursive DP
개요 Heavy-Light Decomposition Heavy-Light Decomposition(HLD)은 루트 있는 트리를 여러 개의 heavy chain으로 분할하는 알고리즘으로, 다음의 성질들을 만족합니다. 각 간선은 heavy edge 또는 light edge로 분류됩니다. 리프가 아닌 정점은 자식들 중 정확히 하나를 heavy child로 갖습니다. heavy child로 가는 간선은 heavy edge이고, 다른 자식으로 가는 간선은 모두 light edge입니다. heavy edge로 연결된 정점들의 묶음을 heavy chain이라 합니다. 각 heavy chain의 형태는 한 정점에서 출발해서 리프까지 내려가는 연속적인 경로가 되고, 모든 정점은 정확히 하나의 heavy chain에 속하게...
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Dulmage-Mendelsohn Decomposition (Part 2)
개요 이전에 작성한 글에서는 Dulmage-Mendelsohn Decomposition(DM 분해)의 개념과 성질을 소개하고 이를 구하는 방법에 대해서 다루었습니다. 이 글에서는 Dulmage-Mendelsohn Decomposition의 코드와 PS에서의 활용에 대해 다룹니다. 코드 이전 글에서 언급한 구현 방법을 그대로 사용할 것입니다. BipartiteMatching은 이분 그래프를 받아서 최대 매칭을 구한 뒤에 각 정점이 어느 정점과 매칭되었는지를 반환하는 함수입니다. Kuhn’s Algorithm으로 $O(VE)$에 구현했지만, 더 빠른 시간복잡도를 원한다면 Hopcroft-Karp Algorithm 등의 다른 구현체로 대체해서 사용해도 됩니다. StronglyConnectedComponents는 방향 그래프를 받아서 SCC들의 번호를 위상정렬 순으로 매기고, SCC의 개수와...
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A 1.5-Approximation for s-t Path TSP
이 글에서는 cost function이 metric인 경우에 대해서만 논의한다. 1. Introduction 외판원 문제(Traveling Salesman Problem)와 s-t 경로 외판원 문제(s-t path TSP)는 다음과 같이 정의된다. Traveling Salesman Problem. 완전 그래프 $G = (V, E)$ 와 간선 집합 $E$ 상의 metric cost function $c$가 있을 때, $G$의 모든 정점을 순회하고 돌아오는 최소 cost의 cycle을 구하여라. s-t Path Traveling Salesman Problem. 완전 그래프 $G = (V, E)$ 와 그 상의 두 정점 $s$, $t$ 및 간선 집합 $E$ 상의...
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Dulmage-Mendelsohn Decomposition (Part 1)
개요 이 글에서는 Dulmage-Mendelsohn Decomposition의 개념과 성질을 소개하고 이를 구하는 방법에 대해서 다룹니다. Dulmage-Mendelsohn Decomposition의 코드와 PS에서의 활용은 다음으로 이어지는 글에서 다루겠습니다. 사전 지식으로 이분 매칭과 SCC를 알고 있다고 가정하고 진행하겠습니다. Dulmage-Mendelsohn Decomposition(DM 분해)는 이분 그래프의 모든 최대 매칭의 구조를 알아내기 위해서 정점 집합을 여러 개의 부분집합들로 unique하게 분할하는 방법입니다. 구체적으로 예를 들면, DM 분해를 사용해서 아래와 같은 질문들에 대해 빠르게 답변할 수 있습니다. 주어진 이분 그래프의 각 정점 $u$에 대해, 모든 최대 매칭에서 $u$가...
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Variation of Mo's Algorithm 2
안녕하세요 jthis 입니다. 이 글에서는 Variation of Mo’s Algorithm 1에 이어 또다른 Mo’s Algorithm의 variation에 대해 소개하겠습니다. Mo’s Algorithm with Update Mo’s Algorithm은 쿼리 문제를 효율적으로 해결하는 알고리즘입니다. 하지만 일반적인 Mo’s Algorithm은 업데이트 연산을 처리할 수 없어, 해당 제약으로 인해 사용하기 어려운 경우가 있습니다. 이런 상황에서 사용할 수 있는 3D Mo’s Algorithm이라고도 불리는 Update Mo’s Algorithm에 대해 소개하고자 합니다. 예를 들어, 쿼리문제를 생각해 봅시다. 이 문제에서는 다음과 같은 연산이 주어집니다: 1 i x: $A_i$를 x로...
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Massively Parallel Computation
이 글에서는 parallelism과 관련하여 최근에 제시된 두 계산 모델에 대해 간단히 알아본다. 또한, 그 계산 모델 상에서 돌아가는 잘 알려진 (그러면서도 이론적으로 중요한) 문제에 대한 알고리즘 및 계산 이론적 결과를 알아본다. 다만 이 주제에 대해 deep 하고 formal한 내용은 전혀 다루지 않는다. 전반적으로 두 계산 모델에 대한 이해를 조금 만드는 정도를 목표로 한다. 이 글에서 “높은 확률”은 최소한 1 - (polynomially small) 이상이라 이해하면 좋다. Massively Parallel Computing Model (MPC) 먼저, Massively Parallel Computing Model(MPC)에...
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sweepline MO
개요 다음 문제를 생각해 봅시다. Static Range Inversions Query 길이가 $N$인 수열 $A = (A_1, A_2, \dots, A_{N})$가 주어지면, 다음 $Q$개의 쿼리를 수행해야 합니다. $(1 \leq N \leq 10^5, 1 \leq Q \leq 10^5, 0 \leq A_i \leq 10^9)$ $1 \leq l \leq r \leq N$을 만족하는 $l,r$이 주어지면, $l \leq i < j \leq r, A_i > A_j$ 를 만족하는 $(i,j)$쌍(=inversion)의 개수를 출력한다. 이 글에서는 다음의 내용들을 다룰 것입니다. Static Range Inversions Query 문제를...
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알고리즘 문제 접근 과정 12
알고리즘 문제 접근 과정 12 이번 포스트에서도 ‘알고리즘 문제 접근 방법’ 시리즈에서 진행했듯이 특정 문제를 해결하기 위해 가장 낮은 단계의 접근에서부터 최종 해법까지 해결해나가는 과정을 작성합니다. 다만 기존과는 조금 달리, 이번에는 JOI 기출문제들 중 높은 난이도의 문제들을 위주로 이야기합니다. JOI 기출문제들은 좋은 문제들이 많음에도, 한글로 번역이 되어있지 않고 한글 풀이가 존재하지 않는 문제들이 있어, 이들 위주로 풀이를 작성하려고 합니다. 이번 문제들의 난이도는 기존 시리즈들과는 달리, 기출문제들 중 높은 번호의 문제들을 다루다보니 조금 어렵게 느껴질 수...
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Piece Table
서론 텍스트 에디터는 하나의 문자열을 조작하는 것을 매우 빠르게 하는 자료구조가 필요합니다. 길이가 $n$인 문자열 $s$에 대해서 다음과 같은 기능들이 있어야 합니다: $s = s[0..i] + s[j..n], 0 \le i < j \le n$, 즉, $i$ ~ $j$까지의 문자들을 지운다 $s = s[0..i] + t + s[i..n]$, 즉, $i$ 위치에 문자열 t를 넣는다 $s[i..j]$, 즉, $i$부터 $j$까지의 문자열을 빠르게 구한다 텍스트 에디터에는 문자열 찾기, 줄 번호 등 여러 기능이 있어야 하지만 우선 가장 중요한 기능은...
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구간 최장 증가 부분 수열 쿼리 (Part 2)
Chapter 4. $\boxdot$ 연산자의 빠른 구현 현재 우리의 알고리즘이 $O(N^5)$ 인 이유는 다음과 같다: $\boxdot$ 연산자가 $O(N^3)$ 에 구현됨 $\boxdot$ 연산자를 $O(N^2)$ 번 호출함 잠시 $\boxdot$ 연산자의 실제 이름을 짚고 넘어가자면, 논문에서는 위 연산자가 unit-Monge matrix-matrix distance multiplication 라는 이름으로 소개되었다. Part 1에서는 괜히 글이 어렵다는 인상을 줄 것 같아서 의도적으로 언급하지 않은 이름이다. 이제부터는 (순열의) unit-Monge 곱 이라고 부르거나 그냥 앞과 같이 $\boxdot$ 이라고 부른다. $\boxdot$ 연산자를 어떻게 $O(N \log N)$ 에 계산하는지 살펴보자....
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구간 최장 증가 부분 수열 쿼리 (Part 1)
이번 글에서는 다음과 같은 쿼리를 수행하는 자료 구조에 대해 다룬다: 길이 $N$ 의 수열 $A$ 와 $Q$ 개의 쿼리 $1 \le i \le j \le N$ 가 주어질 때, $A[i], A[i + 1], \ldots, A[j]$ 의 최장 증가 부분 수열 (Longest Increasing Subsequence, LIS) 를 계산하라. LIS 문제의 경우 동적 계획법으로 해결할 수 있는 가장 기초적인 문제 중 하나로, 수학적으로 여러 의미를 가지기 때문에 변형된 문제들이 다방면으로 연구되고 있다. 위와 같은 쿼리 문제는 다들 자료...
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SAGE: Saliency-Guided Mixup with Optimal Rearrangements
SAGE: Saliency-Guided Mixup with Optimal Rearrangements Mixed Sample Data Augmentation, MSDA는 vision task에서 사용하는 데이터를 증강하기 위해서 사용되는 기법입니다. 이를 위한 수많은 접근 방법이 나왔으며, Mixup을 필두로 해당 기법이 성능 개선에 큰 효과가 있다는 것이 알려지고, 최근에 왜 이러한 MSDA 방법론들이 실제 성능 향상에 영향을 주는지를 loss function perspective로 설명하는 A Unified Analysis of Mixed Sample Data Augmentation: A Loss Function Perspective이란 논문이 나오면서 더욱 다양한 관점과 방법론으로 연구되고 있습니다. 물론 아직 MSDA 방식이 정말로...
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Variation of Mo's Algorithm 1
안녕하세요 jthis 입니다. 이 글에서는 Mo’s Algorithm의 variation에 대해 소개하겠습니다. Mo’s Algorithm Mo’s Algorithm은 구간 쿼리를 offline으로 해결하는 알고리즘입니다. Mo’s Algorithm에 대한 자세한 설명은 Mo’s Algoithm에서, Mo’s Algorithm을 사용한 트리의 서브 트리에 대한 쿼리나 경로에 대한 쿼리는 Mo’s on Tree 에서 찾아보실 수 있으니 읽고 오시면 도움이 될 것입니다. Mo’s Algorithm with Rollback Mo’s Algorithm을 사용할 때 원소를 제거만 하거나 삽입만 하고 싶다는 생각을 해보신 적 있으실 겁니다. 간략하게 설명하자면 원소를 삽입하는 연산만 하고 싶을...
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Suffix Automaton
Suffix Automaton 문자열의 부분문자열에 대한 복잡한 문제를 풀 때 Suffix Array와 같은 접미사 구조 는 아주 강력한 도구가 된다. SCPC 2021 3번, 서울 리저널 2022 H 등 여러 중요한 대회에서도 이러한 접미사 구조를 응용한 문제들이 정말 많이 나온다. 한국에서 많은 사람들이 알고 있는 접미사 구조로는 Suffix Array 가 있다. Suffix Array는 모든 문자열의 접미사를 정렬한 순열로, 흔히 부분문자열 탐색 쿼리를 빠르게 처리하거나 두 접미사의 LCP를 구할 때 많이 쓰인다. 문자열 접미사 구조 중 알려진 자료구조는...
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Exploring Simulated Annealing for Derivative-free Optimization 2
Exploring Simulated Annealing for Derivative-free Optimization 2 이전 포스트 Exploring Simulated Annealing for Derivative-free Optimization 1에 이어서 기존 Simulated Annealing을 여러 방면으로 개선시킨 방법론들에 대해 이야기하겠습니다. Fast Simulated Annealing 기존의 온도 쿨링의 경우, 쿨링되는 과정이 너무 느려서 실제로 converge할 때까지 시간이 너무 오래걸린다는 단점이 있습니다. 이러한 문제를 해결하기 위해서 새롭게 제안된 방법이 바로 Fast Simulated annealing입니다. 기존의 SA의 경우, 새로운 상태를 채택할지에 대한 확률을 exponential function을 통해서 결정했습니다. 즉, exponential function을 사용하기 때문에, 새로운 상태의...
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조건을 만족하는 최솟값 혹은 최댓값 구하기
문자열이 주어졌을 때, 재배열하여 원본보다 사전 순으로 느린 문자열 중 사전 순으로 가장 빠른 문자열을 찾는 간단한 문제를 하나 생각해봅시다. 가능한 모든 재배열 방법을 확인하는 건 $N!$에 비례하는 시간이 걸리기 때문에 다른 방법을 찾아보아야 합니다. 이 문제를 해결하기 이 글에서 소개하고자 하는 풀이 방법을 이용해 소개하고자 합니다. 확정되지 않은 가장 앞자리에 a를 넣어본 뒤에 가능한지 확인한 후, 가능하다면 확정 지어주고 불가능하다면 다음 문자인 b로 넘어가고, 이를 확정 짓기까지 계속 반복하는 것입니다. 예를 들어 문제의 입력으로...
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Introduction to APSP Conjecture and BMM Conjecture
Introduction to APSP Conjecture and BMM Conjecture 이론전산학에서 논의되는 가장 주된 문제 중 하나는 어떠한 문제가 “쉽다” (algorithm) 내지는 “어렵다” (hardness) 는 논의이다. 쉽다는 것을 증명하려면, 효율적인 알고리즘을 찾아 빠르게 해결하면 된다 (constructive proof). 대단히 명료하고, 알고리즘 대회를 통해서 많이 연습되는 방법이기도 하다. 어렵다는 것을 증명하는 것은 쉽다를 증명하는 것만큼 명료하지 않다. $P=NP$ 가설이 오랜 난제로 남아있는 것도 “어려움을 증명하는” 쉬운 방법을 찾지 못해서라고 볼 수 있다. 통상적으로는, 가장 대표성있는 문제를 잡아서 “어떠한 문제는 풀...
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Exploring Simulated Annealing for Derivative-free Optimization 1
Exploring Simulated Annealing for Derivative-free Optimization 1 현대 과학 및 수학에서, 많은 종류의 하이퍼파라미터를 갖는 문제의 최적의 솔루션을 찾는 것은 매우 중요한 문제입니다. 특히, 머신러닝, 딥러닝의 등장으로, 굉장히 어려운 형태의 최적화 문제의 좋은 솔루션을 구하는 것은 모델의 품질 향상과 밀접한 연관을 갖게 됩니다. 이 과정에서 다양한 종류의 optimizatino problem을 해결하게 되고, 그 과정에서 gradient 기반 접근 방법이 굉장히 많이 사용되고 있습니다. 그러나 최적화 문제 중에서는 특정 상태에 대한 gradient를 구하는 것이 어려운 문제들이 있습니다. 이러한...
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SMAWK algorithm
들어가며 SMAWK 알고리즘은 $n \times m$ 크기의 totally monotone한 행렬에서 모든 행마다 최솟값의 위치를 $O(n+m)$ 시간에 구하는 알고리즘이다. 이 글에서는 SMAWK 알고리즘에 대해 소개하고, 이를 통해 해결할 수 있는 문제들에 대해 소개한다. 단조성. $2 \times 2$ 행렬 $\left[ {\begin{array}{ccc}a & b \ c & d \ \end{array}} \right]$ 은 다음 조건이 성립하면 monotone하다고 한다. $c < d$이면 $a<b$이다. $c=d$이면 $a\leq b$이다. $n \times m$ 행렬은 만약 모든 $2 \times 2$ 부분행렬이 monotone하다면 totally monotone하다고 한다....
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Segment Tree Beats와 Kinetic Segment Tree
Segment Tree Beats와 Kinetic Segment Tree 이 글에서는 Kinetic Segment Tree라는 새로운 세그먼트 트리를 소개한다. 어떠한 원소가 Kinetic하다는 것은 시간에 따라서 움직인다는 것으로, 쉽게 말해 그 원소가 일차함수거나 다항함수라는 것이다. 세그먼트 트리도 대회에 자주 나오고, Kinetic한 원소도 대회에 자주 나오니 (대표적으로 컨벡스 헐 트릭), 그것의 조합 역시 익혀보면 도움이 될 것이다. 또한, Kinetic한 원소와 전혀 상관이 없는 문제들에서도 Kinetic한 성질이 파악된다는 점에서 착안하여 (대표적으로 CHT를 사용한 DP 최적화), 이 Kinetic Segment Tree가 어떻게 응용될 수...
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ICPC World Finals 2021 풀이
11월에 ICPC World Finals 2021에 참가했습니다. 이후 11월 말까지 한 문제를 제외한 나머지를 모두 풀었고, 이 글에서 모든 문제의 풀이를 정리합니다. 최근 3년과 달리 상대적으로 쉬운 (플래티넘 하급 이하) 문제가 좀 더 많이 나왔는데, 그것들을 푸느라 더 어려운 문제에 쓸 시간이 부족했습니다. A: Crystal Crosswind 바람의 방향이 $(w_x, w_y)$, 가장자리의 집합이 $S$라고 하면 다음과 같은 정보를 얻습니다. (1) $(x, y) \in S$일 경우, $(x, y)$은 분자고, $(x - w_x, y - w_y)$는 빈칸입니다. (2) $(x,...
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2022 ICPC Seoul Regional
2022 ICPC Seoul Regional ICPC 서울 리저널 측이 공식 풀이를 제공하지 않아서 2020년부터 ICPC 리저널의 비공식 풀이를 작성하고 있다. 이번에도 그 때와 같이 2022 ICPC Seoul Regional의 문제를 풀어보는 시간을 가진다. 올해 문제의 난이도는 작년과 유사한 수준으로 꽤 어려운 편에 속한다. 체감상은 작년보다도 약간 더 어려운 느낌인데, 스코어보드로는 그렇게 보이지 않는다는 점에서 참가 팀의 수준이 높아졌다고 느꼈다. 일부 문제들은 구현했으며, Github 에 icpc22_ 로 시작하는 이름으로 AC 코드를 업로드하였다. 문제 풀이 한 줄 요약 A:...
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Unique Games Conjecture
본인은 최근 들어 Theoretical Computer Science 분야 중에서도 Computational Hardness에 관련한 결과들을 다루는 스터디에 참여하고 있고, Unique Games Conjecture와 관련하여 발표할 일이 있었다. 나름 의미가 있는 주제임에도 불구하고, 이와 관련한 국문 자료는 (본인이 검색해본 한에서는) 전혀 찾아볼 수 없었어서 이 글을 작성하게 되었다. 이 글은 Unique Games Conjecture가 무엇이고, 이를 통해 어떤 결과들을 얻을 수 있는지에 대해 전달하는 것을 목표로 한다. Unique Games Conjecture에서 어떤 형태로 reduction을 구성할 수 있는지 그 느낌 또한 전달하는 것...
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SAT problem의 변형과 Schaefer’s Dichotomy Theorem
Boolean Formula, SAT $(x \lor \neg y) \land (\neg x \lor z)$와 같은 식을 Boolean formula라 한다. Boolean formula의 변수(variable)는 True/False (또는 1/0이라고도 한다)의 두가지 값만을 가질 수 있다. 위 boolean formula의 variable은 $x, y, z$이다. 각 연산자에 대해 알아보면 $\lor$ 와 $\land$는 각각 logical OR(disjunction)/ logical AND (conjunction)를 나타내고, $\neg$(negation)는 NOT을 나타내는 연산자로 피연산자가 True였다면 False로, False였다면 True로 바꿔주는 역할을 한다. 식에서 각각의 항 $x, \neg y, \neg x, z$는 literal이라 한다. $x, y$와...
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The Short-Side Advantage in Random Matching Markets
이 글은 L. Cai와 C. Thomas의 논문 The Short-Side Advantage in Random Matching Markets 의 결과를 간략하게 정리한 것이다. 1. Introduction Stable Matching Problem은 남-여 간의 짝 매칭, 의사와 병원간의 매칭, 학생과 지도교수 간의 매칭 등 여러 상황에서 응용될 수 있는 문제로 다음과 같은 상황을 다룬다. $n$ 명의 의사 $\mathcal{D} = {d_1, d_2, \cdots, d_n}$ 와 $m$ 개의 병원 $\mathcal{H} = {h_1, h_2, \cdots, h_m}$ 이 있다. 각각의 의사는 병원에 대한 선호하는 순서($\prec_d$)가 존재하고, 각각의...
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알고리즘 문제 접근 과정 11
알고리즘 문제 접근 과정 11 이번 포스트에서도 ‘알고리즘 문제 접근 방법’ 시리즈에서 진행했듯이 특정 문제를 해결하기 위해 가장 낮은 단계의 접근에서부터 최종 해법까지 해결해나가는 과정을 작성합니다. 최대한 다양한 유형의 문제들을 다루어, 많은 문제 유형에서의 접근 방법에 대한 실마리를 드리는 역할을 하려 합니다. Two Machines - ICPC 2019 Seoul Nationalwide Internet Competition L번 관찰 주어진 문제를 간단히 본다면, 머신 A와 머신 B에서 각각 작업에 걸리는 시간이 다른 N개의 일을, A와 B에 적절히 할당하여 동시에 일을 진행하고,...
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Low degree optimal polynomial의 계산기하적 접근
Optimal Polynomial 일반적으로 함수 $f(x)$와 차수 $d$가 주어졌을 때, $\lvert P(x) - f(x) \rvert$의 최댓값 를 최소화하는 $d$차 다항함수를 $f$에 대한 degree $d$의 optimal polynomial 이라 합니다. 그러나 이러한 $P$를 구해야 하는 상황에서는 보통 함수 $f$를 모르는 상태에서, $f$가 $d$차 이하의 다항식일 것이라고 가정한 후 $P$를 추측해야 하는 경우가 잦습니다. 몇 개의 $x_i$에 대해 $f$의 실험값 $y_i = f(x_i) + \epsilon_i$ 가 주어져있을 때 오차 $\max (\lvert P(x_i) - y_i \rvert)$를 최소화하는 $P$를 어떻게 구할...
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IOI 2022
IOI 2022 IOI 2022 대회가 종료되었다. 올해 대회의 개최지는 인도네시아에서 진행하며, 온라인 대회 역시 병행한다. 한국 팀은 온라인 참가를 결정하였기 때문에, 현재 서울에서 모여서 감독 하에 대회를 진행하고 있다. 이 글에서는 해당 대회에 출제된 문제들을 하나 하나 풀어보고, 그 풀이를 소개한다. IOI에는 다양한 문제가 나오기 때문에 모든 풀이를 하나의 주제로 요약할 수는 없다. 고로 각 풀이의 핵심 키워드를 아래에 정리하였다. 구현한 풀이는 모두 https://github.com/koosaga/olympiad/tree/master/IOI 에서 찾을 수 있다. 문제 풀이 한 줄 요약 fish: 문제...
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알고리즘 문제 접근 과정 10
알고리즘 문제 접근 과정 10 이번 포스트에서도 ‘알고리즘 문제 접근 방법’ 시리즈에서 진행했듯이 특정 문제를 해결하기 위해 가장 낮은 단계의 접근에서부터 최종 해법까지 해결해나가는 과정을 작성합니다. 최대한 다양한 유형의 문제들을 다루어, 많은 문제 유형에서의 접근 방법에 대한 실마리를 드리는 역할을 하려 합니다. Musical Notes - USACO December 2009 Contest Silver 2번 문제가 영어로 되어있어서, 동일한 문제 상황의 번역을 첨부하겠습니다. 문제 카이홀에서는 한창 카이스트 합창 동아리 ‘코러스’의 콘서트가 진행되고 있다. 이번 콘서트에는 총 N개의 곡이 1번부터...
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Formal Power Series와 Operation의 빠른 계산 방법
Introduction Polynomial Ring Field $\mathbb{F}$에 대해 Polynomial Ring $\mathbb{F}[x]$는 다항식(polynomial)들의 집합으로 정의되며, 다항식들은 각 계수 $p_i$가 $\mathbb{F}$의 원소인 $p = p_0 + p_1x + … + p_mx^m$ 꼴로 표현됩니다. 여기에서 Ring이란 간단히 말해서 덧셈과 곱셈이 정의되어 있고 해당 연산들에 대해 결합법칙이 성립하고 항등원이 정의되어 있으며 덧셈에 대해서는 교환법칙이 성립하는 집합을 말합니다. Field는 여기에 0을 제외한 모든 원소에 대해 곱셈에 대한 역원이 존재하는 경우입니다. Polynomial Ring 같은 경우는 다항식의 곱셈과 덧셈으로 자연스럽게 정의됨을 알 수 있습니다....
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O(N) Precomputation, O(1) RMQ (Farach-Colton and Bender Algorithm)
이 글은 Sparse Table을 이용한 $O(N \log N)$ 전처리, $O(1)$ LCA 쿼리(소멤 글 링크)와 sqrt decomposition를 이용한 $O(N)$ 전처리, $O(\sqrt N)$ RMQ(cp-algorithms 링크)를 선행 지식으로 가지고 있다면 더 쉽게 이해할 수 있습니다. $O(N)$ 전처리, $O(1)$ LCA 쿼리 우리는 LCA 쿼리를 Euler Tour 테크닉을 통해 RMQ로 변환시킬 수 있습니다. 이는 위 Sparse Table을 이용한 $O(1)$ LCA 쿼리에서도 사용하는 방법이기 때문에 위 링크된 소멤 글에 자세히 설명되어 있으므로 이 글에서는 설명을 생략하겠습니다. 이 테크닉을 이용해 주어진 트리에서...
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Conditional Hardness for Sensitivity Problems
Conditional Hardness for Sensitivity Problems 이 글에서는 Monika Henzinger, Andrea Lincoln, Stefan Neumann, Virginia Vassilevska Williams의 Conditional Hardness for Sensitivity Problems 라는 논문을 요약한다. 이론 전산에서 Dynamic algorithm은, 입력 데이터에 작은 변화가 점진적으로 가해지더라도 데이터에 대해 물어볼 수 있는 특정한 문제들의 답을 그대로 보존하는 알고리즘을 뜻한다. 예를 들어서, 그래프의 “연결성” (connectivity) 를 보존하는 dynamic algorithm은 입력 그래프에 간선 추가와 제거가 이루어질 때 $s - t$ 간에 경로가 있는지 여부의 쿼리를 반환할 수 있다. 최근 이루어진...
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Treewidth를 사용한 PS 문제 해결
알고리즘에서 다루는 많은 문제들은 그래프 문제로 환원할 수 있는데, 일반적인 그래프에서 어떤 문제들은 효율적으로 해결이 불가능한 경우가 있다. 이러한 비효율성의 대표적인 예시는 NP-hard로, 어떠한 문제가 NP-hard일 경우 다항 시간으로 푸는 것이 아예 불가능할 가능성이 높다. 그 외에도, 최단 경로 문제와 같이 다양한 쿼리에 대해서 빠른 시간 안에 해결하는 것이 어려운 경우 등, 비효율성의 예시는 NP-hard에 한정되지 않는다. 이러한 비효율성에 당착했을 때 자주 취하는 전략은 환원한 그래프의 특수성에 의존하는 것이다. 예를 들어, NP-hard 문제들이라 하더라도 그래프가...
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Gomory-Hu Tree in Subcubic Time
Introduction mincut terminology 무방향 그래프 $G = (V,E)$ 의 각 edge에 대해 양의 정수 weights $w: E \rightarrow Z_{+}$ 정의되어 있다고 하자. 정점들의 집합 $S$가 $s \in S, t \notin S$를 만족할 때 $S$를 $(s,t)$-cut 이라 한다. 이 때, $S$의 weight $\delta(S) = \Sigma_{e\in E(S, V \setminus S)} w(e)$ 가 최소인 경우를 ($s$,$t$)-mincut 이라 하고, 그 weight를 $\lambda(s,t)$라 한다. Gomory-Hu Tree Gomory-Hu Tree는 모든 $(s,t)$에 대한 mincut을 encoding하는 Tree이다. 다음과 같은 두 definition으로 정의 가능하다....
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Congestion Balancing
Congestion Balancing 일반적인 그래프에서 효율적으로 해결할 수 있는 문제들을, 간선이 추가되고 제거되는 등의 업데이트가 가해질 때도 효율적으로 해결할 수 있는지를 연구하는 분야를 Dynamic Graph Algorithm이라고 부른다. 이 분야에 대해서는 최근 많은 연구가 진행되고 있으며, 여러 차례의 멤버십 글로도 이 분야의 다양한 최신 기술과 테크닉을 소개한 바 있다. 이 글에서 소개할 주제는 Decremental Graph Algorithm을 얻을 수 있는 프레임워크 중 하나인 Congestion Balancing 이다. 어떠한 알고리즘이 decremental하다는 것은, 간선 추가 쿼리는 처리할 수 없으나 제거 쿼리는...
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Densest Subgraph: Supermodularity, Iterative Peeling, Flow
Densest Subgraph: Supermodularity, Iterative Peeling, Flow 이 글에서는 SODA 2022 논문인 Densest Subgraph: Supermodularity, Iterative Peeling, Flow 를 요약한다. 위 논문은 Densest subgraph problem과, 이 문제의 supermodular set function 일반화 버전의 풀이를 다루는 논문이다. 본인은 최근 Densest subgraph problem에 대해서 최근에 다양한 접근 방법들을 정리하고 있는데, 이 글 역시 그러한 노력의 일환이라고 보면 좋다. Densest subgraph problem의 중요성에 대해서는 이 글을 참고하면 좋다. Densest subgraph problem에 대해서는 현재 크게 세 가지 접근 방법이 있다. Flow...
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Push Relabel Algorithm (2)
2월의 Push-Relabel algorithm 관련 글에 이어서 Push-relabel에 기반한 다항 시간 MCMF 알고리즘 (Cost Scaling)에 대해서 다룰 예정이다. 이 글에서는 일반적으로 알려진 Successive Shortest Path Algorithm보다 훨씬 더 효율적인 알고리즘을 다룬다. MCMF (Minimum-Cost Maximum-Flow) 문제는 알고리즘 대회 입문서에 다 소개되어 있는 중요한 문제이다. 2월 중순에 글이 올라온 뒤, 3월 1일 Almost-Linear Time Minimum Cost Flow 가 가능하다는 사실이 알려져서 많은 화제를 모았다. 당연하지만 이론전산에서 아주 중요한 연구 결과이고, 저자들은 아마 권위있는 상 하나 정도는 수상하지 않을까...
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알고리즘 문제 접근 과정 9
알고리즘 문제 접근 과정 9 이번 포스트에서도 ‘알고리즘 문제 접근 방법’ 시리즈에서 진행했듯이 특정 문제를 해결하기 위해 가장 낮은 단계의 접근에서부터 최종 해법까지 해결해나가는 과정을 작성합니다. 최대한 다양한 유형의 문제들을 다루어, 많은 문제 유형에서의 접근 방법에 대한 실마리를 드리는 역할을 하려 합니다. 짐 정리 - KOI 2007 지역본선 중등부 4번 풀이 문제를 간략화하기 위해, 짐들을 옮길 때 드는 힘을 생각하지 않고, 최소 몇 번 만에 짐을 옮겨 정렬할 수 있는지 위 그림을 예시로 확인해봅시다. i)...
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Introduction to Width Independent MWU
Introduction to Width Independent MWU 네트워크 플로우는 효율적인 그래프 알고리즘을 고안하기 위한 기초적인 도구이다. 이미 글을 통해서 여러 번 밝힌 바가 있지만 이 분야에 대해서 수도 없이 많은 연구들이 진행되었고, 최근 Almost-Linear Time Minimum Cost Flow 가 가능하다는 사실이 알려져서 많은 화제를 모은 바도 있다. 이론적으로는 효율적인 네트워크 플로우 알고리즘에 대한 연구가 상당히 진전이 되어 있지만, 정확하게 네트워크 플로우 문제를 해결하려는 경우는 아직 Push-relabel보다 실용적인 방법이 잘 알려져 있지 않다. 이론적으로 효율적인 플로우 알고리즘은, 그...
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USACO 활용하여 문제 풀어보기
서론 USACO란 미국의 정보올림피아드로, 어렵지 않은 알고리즘을 이용하여 문제를 출제됩니다. 학생들은 등급별로 3개의 문제를 풀며 Bronze부터 Platinum 까지 승급하며 올라가는 방식입니다. 이번에는 2021년 12월에 진행되었던 USACO Silver, Gold 시험의 1번문제의 풀이를 하려 합니다. Closest Cow Wins (USACO Silver #1) 이 문제는 $K$개의 풀밭이 각각 $p_i$ 위치에 $t_i$의 맛을 가지고 있습니다. Nhoj와 John은 소를 배치하는데, 각 풀밭은 가까이에 있는 소에게 먹히게 됩니다. Nhoj의 소와 John의 소가 풀밭에서 같은 거리에 있을 때에는, Nhoj의 소가 먼저 먹게 됩니다....
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알고리즘 문제 접근 과정 8
알고리즘 문제 접근 과정 8 이번 포스트에서도 ‘알고리즘 문제 접근 방법’ 시리즈에서 진행했듯이 특정 문제를 해결하기 위해 가장 낮은 단계의 접근에서부터 최종 해법까지 해결해나가는 과정을 작성합니다. 최대한 다양한 유형의 문제들을 다루어, 많은 문제 유형에서의 접근 방법에 대한 실마리를 드리는 역할을 하려 합니다. 버스 노선 - KOI 2014 고등부 2번 풀이 이 문제를 해결하는데 큰 어려움이 되는 부분은 구간이 원형으로 되어있다는 점일 것입니다. 그렇다면 일단, 문제가 원형으로 생겨있지 않고 0번을 기준으로 일직선으로 생긴 형태라면 어떻게 해결할...
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Push Relabel Algorithm (1)
그래프의 최대 유량 (Maximum Flow) 를 찾는 문제는 웬만한 알고리즘 대회 입문서에는 다 소개되어 있는 중요한 문제이다. 일반적으로 최대 유량을 찾기 위해서는 Edmonds-Karp, Dinic과 같은 알고리즘을 사용한다. 이 알고리즘의 특징은 빈 그래프에서 시작해서 유량을 증가시키는 “증가 경로” 를 찾는 것을 반복하는 식으로 작동한다는 것이다. Dinic 알고리즘은 최악의 경우 $O(V^2E)$ 에 작동하지만 실제로는 이보다 훨씬 효율적으로 작동한다. 하지만 그럼에도 선형 시간에 가까울 정도로 빠르지는 않고, 한계가 분명히 있는 알고리즘이다. 이 글에서는 Push-relabel 이라고 하는 새로운 플로우...
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알고리즘 문제 접근 과정 7
알고리즘 문제 접근 과정 7 이번 포스트에서도 ‘알고리즘 문제 접근 방법’ 시리즈에서 진행했듯이 특정 문제를 해결하기 위해 가장 낮은 단계의 접근에서부터 최종 해법까지 해결해나가는 과정을 작성합니다. 최대한 다양한 유형의 문제들을 다루어, 많은 문제 유형에서의 접근 방법에 대한 실마리를 드리는 역할을 하려 합니다. 방 청소 - COCI 2013/2014 Contest #5 6번 풀이 문제 상황이 단순하지 않아서, 어떻게 풀지 쉽게 감이 오지 않을 수 있습니다. 한 음료를 담을 수 있는 상자는 두 개뿐이지만, 음료를 어떻게든 옮겨서 담을...
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Efficient Primal-Dual Algorithms for MapReduce
Efficient Primal-Dual Algorithms for MapReduce 1. Introduction MapReduce 라는 프로그래밍 프레임워크는 대용량의 데이터를 처리하는 데 있어서 높은 성능을 보여주고, Apache Hadoop과 같은 오픈 소스 구현체들을 통해서 실용적으로도 그 가치를 증명하였다. 이 글에서는 그래프 최적화 문제를 푸는 데 효과적인 방법 중 하나인 Primal-Dual Method를 MapReduce 프레임워크에서 적용하는 새로운 프레임워크를 소개하고, 이를 통해서 Densest Subgraph Problem의 Near-linear time algorithm을 얻고자 한다. 정확히는, 이 글에서는 $O(\frac{\log n}{\epsilon^2})$ 번의 MapReduce iteration을 통하여 Densest Subgraph problem의 $(1 + \epsilon)$ approximation을...
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알고리즘 문제 접근 과정 6
알고리즘 문제 접근 과정 6 이번 포스트에서도 ‘알고리즘 문제 접근 방법’ 시리즈에서 진행했듯이 특정 문제를 해결하기 위해 가장 낮은 단계의 접근에서부터 최종 해법까지 해결해나가는 과정을 작성합니다. 최대한 다양한 유형의 문제들을 다루어, 많은 문제 유형에서의 접근 방법에 대한 실마리를 드리는 역할을 하려 합니다. Exhibition - JOI 2019 2번 주어진 문제가 영문이기 때문에 번역을 하여 문제를 첨부하겠습니다. 문제 알고박물관에서는 새해를 맞이해 여러 작품들을 특별 전시하려 합니다. 이번 특별 전시는 매우 귀한 작품들을 가지고 전시할 것이기 때문에, 전시하는...
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Faster and Simpler Algorithm for Sorting Signed Permutations by Reversals
Faster and Simpler Algorithm for Sorting Signed Permutations by Reversals Introduction 어떠한 순열 $\pi = (\pi_1, \ldots, \pi_n)$ 에 대해서 순열의 몇 개 원소에 $-1$ 을 곱해서 만들 수 있는 수열들을 signed permutation (부호 있는 순열) 이라고 하자. 이 수열에 우리는 뒤집기 라는 연산을 할 수 있는데, 뒤집기 연산 $r(i, j)$ 는 구간 $[i, j]$ 에 대해서 구간의 원소에 $-1$ 을 곱하고 구간을 뒤집는 것을 뜻한다. 즉, $\pi$ 에 뒤집기 연산 $r(i, j)$ 를 수행하면,...
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Linear Suffix Array Construction
제가 최근에 작업을 하면서 큰 문자열에서 다른 작은 문자열을 많이 찾을 필요가 있었습니다. 정확히는, 이런 일을 해야 할 필요가 있었습니다. 문자열 $T$가 주어집니다. 문자열 $S_{1}$, $S_{2}$, $\cdots$, $S_{K}$가 $T$에서 등장하는 횟수를 구해야 합니다. 모든 정수 $1 \leq i < K$에 대해, $S_{1}$, $S_{2}$, $\cdots$, $S_{i}$에 대한 답을 구한 이후에야 $S_{i+1}$을 알 수 있습니다. 이 조건은 실제 문제 상황보다는 조금 빡빡한 제한이지만, 이렇게 가정해도 큰 무리는 없습니다. 이 상황이 다른 일반적인 상황과 크게 다른 점은 이렇습니다....
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알고리즘 문제 접근 과정 5
알고리즘 문제 접근 과정 5 이번 포스트에서도 ‘알고리즘 문제 접근 방법’ 시리즈에서 진행했듯이 특정 문제를 해결하기 위해 가장 낮은 단계의 접근에서부터 최종 해법까지 해결해나가는 과정을 작성합니다. 최대한 다양한 유형의 문제들을 다루어, 많은 문제 유형에서의 접근 방법에 대한 실마리를 드리는 역할을 하려 합니다. 두 배열의 합 - KOI 2001 고등부 1번 관찰 우리가 생각해볼 수 있는 가장 쉬운 방법은 무엇이 있을까요? 아마 문제에서 나온 방법을 그대로 사용하는 것이 가장 편한 방법일 것입니다. 우리가 만들 수 있는...
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2021 ICPC Seoul Regional
2021 ICPC Seoul Regional 이 글에서는 2021 ICPC Seoul Regional의 문제 풀이를 다룬다. 올해 문제는 예년 비해서 상당히 어렵게 출제된 편이다. 거의 모든 해에서 우승 팀이 모든 문제를 풀었고, 그렇지 않은 해 (2015, 2018 등) 에도 웬만하면 한 문제 빼고 다 풀었다는 점을 감안하면 상당히 이례적이다. 다만 모든 문제를 푸는 난이도는 솔직히 2018년이 더 어렵지 않나 싶다. 솔직히 말해서 문제가 자꾸 봤던 유형에서 계속 재탕 삼탕하는 느낌이 너무 강하다. 어느 정도야 그럴 수 있겠지만 올해는...
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알고리즘 문제 접근 과정 4
알고리즘 문제 접근 과정 4 이번 포스트에서도 ‘알고리즘 문제 접근 방법’ 시리즈에서 진행했듯이 특정 문제를 해결하기 위해 가장 낮은 단계의 접근에서부터 최종 해법까지 해결해나가는 과정을 작성합니다. 최대한 다양한 유형의 문제들을 다루어, 많은 문제 유형에서의 접근 방법에 대한 실마리를 드리는 역할을 하려 합니다. 줄 세우기 - KOI 2013 지역본선 중등부 4번 관찰 최소한의 이동이라는 조건이 없을 때에, 우리는 어떻게 줄을 세울 수 있을까요? 우리는 1번부터 N번까지의 학생을 모두 순서대로 뒤로 보내거나, N번부터 1번까지의 학생을 모두 앞으로...
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트리 압축
개요 트리에 관한 문제를 풀다 보면, 일부 정점만이 쿼리로 들어왔는데 모든 정점을 검사하기에는 비효율적인 경우가 있습니다. 이 때 필요 없는 정점과 간선들을 지워서 새로운 트리를 만드는 기법을 트리 압축이라고 부릅니다. 다른 말로는 Virtual Tree / Auxiliary Tree라고도 합니다. 다음 예시를 통해 트리 압축이 정확히 무엇인지와 어떻게 구현하는지에 대해서 살펴보겠습니다. JOI Open Contest 2014. 공장들 정점이 $N$개인 간선 가중치 트리와 $Q$개의 쿼리가 주어집니다. $i$번 쿼리마다 서로소인 두 정점 부분집합 $S_i$와 $T_i$가 주어지면, $S_i$의 한 정점에서 $T_i$의...
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알고리즘 문제 접근 과정 3
알고리즘 문제 접근 과정 3 이번 포스트에서도 ‘알고리즘 문제 접근 방법 1, 2’에서 진행했듯이 특정 문제를 해결하기 위해 가장 낮은 단계의 접근에서부터 최종 해법까지 해결해나가는 과정을 작성합니다. 최대한 다양한 유형의 문제들을 다루어, 많은 문제 유형에서의 접근 방법에 대한 실마리를 드리는 역할을 하려 합니다. 보석 - Taejon Asia Regional 2001 B번 관찰 금강석의 수를 최대화하기 위해서는, 팔 수 있는 모든 땅을 다 한 번씩 파 몇 개를 얻을 수 있는지 기록한 다음에, 그 중 가장 많이...
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알고리즘 문제 접근 과정 2
알고리즘 문제 접근 과정 2 이번 포스트에서도 ‘알고리즘 문제 접근 방법’에서 진행했듯이 특정 문제를 해결하기 위해 가장 낮은 단계의 접근에서부터 최종 해법까지 해결해나가는 과정을 작성합니다. 최대한 다양한 유형의 문제들을 다루어, 많은 문제 유형에서의 접근 방법에 대한 실마리를 드리는 역할을 하려 합니다. 나무 막대 - Taejon Asia Regional 2001 B번 관찰 우리는 문제를 이해할 때, 복잡하게 주어진 조건을 머리에 표상하기 쉬운 형태로 변경하는 것이 중요합니다. 주어진 조건에서, 한 번 기계를 작동할 때, 그 다음에 오는 막대의...
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서로 다른 수와 쿼리
개요 다음 문제를 생각해 봅시다. 수열과 쿼리 5 길이가 $N$인 수열 $A_1, A_2, \cdots, A_N$과 쿼리 $Q$개가 주어집니다. $i$번 쿼리마다 $l_i, r_i$가 주어지면, $[l_i,r_i]$ 구간에 존재하는 서로 다른 수의 개수를 구해야 합니다. ($1 \leq N \leq 10^5, 1 \leq Q \leq 10^5, 1 \leq A_i \leq 10^6, 1 \leq l_i \leq r_i \leq N$) 위 문제(이하 서로 다른 수와 쿼리 문제)는 problem solving을 하다 보면 가끔 맞닥뜨리게 되는데, 유명한 문제인 만큼 $O(N\sqrt{Q})$나 $O((N+Q)\log{N})$등의 다양한 풀이...
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알고리즘 문제 접근 과정
알고리즘 문제 접근 과정 알고리즘 문제 풀이를 진행하면서, 어느정도 순간에서부터는 내가 모르는 알고리즘 및 자료구조가 필요하다는 점에서 문제 풀이의 어려움을 느끼게 됩니다. 더 발전하기 위해서 다양한 내용들을 찾아서 공부하고 이를 구현하는 방법을 익히는 과정이 필요하게 됩니다. 하지만 처음 공부할 때에 실제로 제가 가장 많이 겪었던 문제, 혹은 다른 사람들이 처음 공부를 시작 하면서 어려웠던 점들에 대해 이야기를 들을 때에 공통적으로 나왔던 부분은 바로, 알고리즘과 자료구조를 알고 있어도, 해당 문제를 어떤 알고리즘과 어떤 자료구조를 사용해야 하는지...
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Suffix Array and LCP Array
접미사(Suffix) 문자열 $s$의 $i$번째 접미사란, $s$의 $i$번째 글자부터 마지막 글자까지 포함하는 부분문자열을 뜻합니다. 예를 들어, $s=\mathsf{GATAGACA}$의 접미사를 순서대로 나타내면 다음과 같습니다. \[\begin{array}{|c|c|} \hline \mathsf{i} & \mathsf{suffix} \\ \hline \begin{array}{c} \mathsf{0} \\ \mathsf{1} \\ \mathsf{2} \\ \mathsf{3} \\ \mathsf{4} \\ \mathsf{5} \\ \mathsf{6} \\ \mathsf{7} \end{array} & \begin{array}{l} \mathsf{GATAGACA} \\ \mathsf{ATAGACA} \\ \mathsf{TAGACA} \\ \mathsf{AGACA} \\ \mathsf{GACA} \\ \mathsf{ACA} \\ \mathsf{CA} \\ \mathsf{A} \end{array} \\ \hline \end{array}\] 접미사 배열(Suffix Array) 접미사들을 사전 순으로 나열한 배열이 접미사...
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XOR 관련 문제를 푸는 접근법들
들어가기 전에 XOR (bitwise exclusive or)은 대표적인 bit 연산 중 하나입니다. 다른 bit 연산인 AND,OR,NOT이 갖지 못하는 특성 때문에, PS 및 CP에서도 관련 문제가 심심치 않게 출제되곤 합니다. 하지만 문제 제목이나 지문에 XOR이 있으면 일단 긴장하거나, 기피하시는 분들도 꽤 자주 본 것 같습니다. 그래서, 이번 글에서는 이런 XOR 관련 문제들에 접근하는 방법 몇 가지를 설명해 보려고 합니다. Basic Part 본격적으로 들어가기에 앞서, XOR 연산이 가지고 있는 성질 몇 가지에 대해서 간단하게 짚고 넘어가려고 합니다. 여러...
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오일러 지표와 문제 풀이
평면 연결 그래프에서 $V$와 $E$를 각각 정점과 간선의 집합 $f$를 면의 개수라고 할 때, $|V|-|E|+f=2$라는 공식이 성립하고 우리는 흔히 이를 오일러 지표라고 부릅니다. 여기서 면은 outer face, 즉, 무한히 바깥으로 뻗어나가는 면을 포함합니다. 위의 그래프에서도 이 식이 성립함을 관찰하실 수 있습니다. 평면 연결 그래프 $G$에서 $|V|-|E|+f=2$라는 사실을 귀납법을 이용하여 증명해봅시다. 우선 임의의 트리는 항상 $|V|-|E|=1$ 이므로, 이 공식이 성립함을 쉽게 보일 수 있습니다. 만약 그래프가 트리가 아닌 경우, 임의의 사이클이 존재하고. 사이클을 구성하는 임의의 간선은...
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Fast Polygon Triangulation
Table Of Contents Introduction Preliminaries Degeneracy Strict Total Order Monotone Polygon Montone Polygon Triangulation Example Polygon Triangulation Boundary Vertex Classification Sweepline Events Example Implementation Introduction 안녕하세요, Aeren입니다! Polygon triangulation은 classical한 computational geometry problem중 하나로, 어떤 simple polygon의 boundary가 counterclockwise하게 주어질 때, triangulation을 찾는 문제입니다. 이번 글에서 소개할 내용은 $N$을 polygon의 vertex 갯수라고 할 때 $O(N \log N)$시간 안에 위 문제를 해결하는 알고리즘입니다. 참고로 이 문제는 $O(N)$시간 안에 해결 가능함이 알려져 있습니다. (참조) Preliminaries Degeneracy 이...
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Factor Base를 이용한 "어려운 문제"의 속도 개선
이 글에서는 factor base를 활용한 속도 개선을 언제 사용할 수 있는지, 사용할 경우 시간 복잡도의 개선이 정확히 얼마나 일어나는지, 실제로는 얼마나 빠른지를 알아봅니다. “어려운 문제”? 이 글에서의 어려운 문제는 크게 소인수분해와 이산 로그를 일컫습니다. 소인수분해 문제는 잘 알고 계실 것입니다. 수 $N$이 주어지면, $N$을 (서로 다를 필요는 없는) 소수 $p_{1}$, $p_{2}$, $\cdots$, $p_{n}$의 곱 $N = p_{1} p_{2} \cdots p_{n}$으로 분해하라. 예를 들어 $108 = 2 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3 =...
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Parallel Binary Search
이 게시글은 이분 탐색에 대한 지식을 필요로 합니다. 그리고 union-find, segment tree 자료구조에 대해 알고 있으면 좋습니다. 아래 문제를 봅시다. 제한된 메모리(링크) 길이 $N$의 배열 $A$에서, $q$번째로 작은 원소를 구하는 쿼리를 여러 번 해결하는 문제입니다. 하지만, 문제 지문에 나와 있듯이, 이 문제의 메모리 제한은 4MB로 $A$에 대한 메모리를 할당할 수 없습니다. 하나의 쿼리에 대해 해결해 봅시다. $f(a) =$ 배열 $A$에서 $a$ 이하인 수의 개수라고 합시다. $f(a) \geq q+1$인 경우, $q$번째로 작은 원소는 $a$ 이하입니다. 함수...
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Gauss-Jordan Elimination
개요 Gauss-Jordan Elimination(가우스 조던 소거법)은 미지수 $x_1$, $x_2$, $…$, $x_m$에 대한 $n$개의 일차방정식으로 구성된 연립일차방정식을 푸는 방법입니다. 해가 존재하는지, 존재한다면 유일한지 판단하고 그 중 하나의 해를 구할 수 있습니다. 연립일차방정식과 행렬 다음과 같은 연립 일차방정식을 생각해봅시다. \[a_{11}x_1 + a_{12}x_2 + ... + a_{1m}x_m = b_1 \\ a_{21}x_1 + a_{22}x_2 + ... + a_{2m}x_m = b_2 \\ \vdots \\ a_{n1}x_1 + a_{n2}x_2 + ... + a_{nm}x_m = b_n\] 이 때, 각 일차방정식의 계수들과 미지수, 상수항을 묶어...
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Data Structure For Range Mode Query
Table Of Contents Introduction Hardness Result First Method Second Method Third Method Final Method Introduction 안녕하세요, Aeren입니다! Competitive programming을 해본 적 있는 분이라면 range sum query, range minimum query 등등의 다양한 range query문제를 접해보셨을 것입니다. 많은 range query problem들은 linear memory만으로 sublinear time query를 가능하게 해주는 data structure가 존재합니다. 이번 글에서는 비슷한 맥락의 range mode query 를 해결하는 linear memory data structure에 대해 알아 볼 것입니다. 이 글은 다음 논문을 바탕으로 작성되었습니다. Array 혹은 multiset...
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Incremental Topological Ordering and Strong Component Maintenance
Incremental Topological Ordering and Strong Component Maintenance 방향 그래프 $G$ 에 대해서, $G$ 의 위상 정렬 $O: V \rightarrow [n]$ 은 모든 간선 $u \rightarrow v$ 에 대해서 $O(u) < O(v)$ 가 성립하는 순열로 정의된다. $G$ 의 위상 정렬이 존재하기 위해서는 $G$ 가 사이클이 없어야 한다는 사실이 잘 알려져 있다 (Directed Acyclic Graph, DAG). 위상 정렬은 방향 그래프에서 사용하는 가장 기초적인 알고리즘 중 하나이다. 그래프는 일반적으로 순서가 없이 표현되는데, 문제를 풀거나 처리를 하는 데 있어서...
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Small To Large Merging
Small To Large Merging “작은거를 큰거에 합친다”, 이름만 들으면 무엇인지 유추가 잘 되지 않습니다. 하지만 알고리즘을 공부하는 사람이라면 한 번쯤은 간접적으로라도 접한적이 있을 것입니다. 바로 Union Find의 Union by size에서 시간복잡도를 보장하기 위해 쓰이기 때문입니다. 알고리즘에서 소개한대로 작은 집합을 큰 집합에 합친다면 한번의 Find 연산이 $O(\log N)$만큼 걸린다는 것이 증명되어 있습니다. 이 글에서는 Small to Large Merging을 소개하면서 왜 이런 시간복잡도가 보장되는지 알아보고, 응용되는 문제의 풀이를 설명하겠습니다. 간단한 문제를 하나 풀면서 시작하겠습니다. 무작위의 수가 1개씩...
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CORDIC(Volder's Algorithm)
자주 있는 일은 아니지만, 살면서 적어도 한 번쯤은 삼각함수를 사용하는 코드를 작성해야 할 일이 있을 것입니다. C++의 math.h 헤더나 Python의 math 모듈같이, 대부분의 언어에서 삼각함수를 비롯한 여러 기능을 지원하는 수학 라이브러리가 기본으로 제공됩니다. >>> from math import * >>> sin(1) # usage of sin function in Python 0.8414709848078965 그런데, 주어진 각도가 $ \pi/6 $, $\pi/4$, $\pi/3$과 같이 딱 떨어지는 특수각이 아닐 때에도 컴퓨터는 어떻게 삼각함수의 값을 구할 수 있는 걸까요? 위 예시에서 $\sin 1$의 값은...
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Stack 자료구조와 실습
Stack Stack이란 스택 자료구조란 항상 한쪽 방향에서만 자료의 입력 및 출력이 가능한 형태의 선형 자료구조입니다. 책상 위에 책을 무더기로 쌓아놓은 상태를 생각하면 스택 구조를 이해하기 쉽습니다. 여러 개의 책이 쌓인 상태에서, 우리는 가장 위에 놓여져 있는 책만 쉽게 들어올릴 수 있으며, 가장 위에만 새롭게 책을 놓는 것이 쉽습니다. 물론 중간에 있는 위치에 책을 넣거나 빼는 것도 가능하지만, 이를 위해서는 그보다 위에 있는 책들을 들어야 하죠. 여기서 가장 위에 있는 책이라는 의미는, 책들이 쌓이기 시작했을 때...
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Heavy-light Decomposition With Globally Balanced Binary Trees
Table Of Contents Prerequisite Introduction Main Idea Implementation Benchmark Prerequisite Segment tree - Tutorial on cp-algorithms Heavy-light decomposition - Tutorial on cp-algorithms Introduction 안녕하세요, Aeren입니다! 다음 문제를 생각해봅시다. Monoid $(T,+)$와 $(L,+)$, left monoid action $\ast(\ast):(L,T)\rightarrow T$, tree $G=(V,E)$와 각 node의 가중치 $W:V\rightarrow T$이 주어진다. 다음 연산들을 수행하라. $u,v\in V$이 주어진다. $u$와 $v$를 잇는 유일한 path $P$에 대하여 $\sum_{w\in P}W(w)$의 값을 출력한다. $u,v\in V$와 $f\in L$이 주어진다. $u$와 $v$를 잇는 유일한 path $P$에 대하여 각 $w\in...
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Shortest Path Algorithm - Dijkstra
Dijkstra 다익스트라 알고리즘은 그래프에서 한 정점(시작 정점)에서부터 다른 모든 정점으로의 최단경로를 구하는 알고리즘입니다. 여기서 최단경로란, 정점과 정점 사이를 잇는 간선이 가중치를 가지고 있을 때, 한 정점에서 다른 정점으로 간선을 타고 이동할 수 있는 경로중 가중치의 합이 가장 작은 경로를 말합니다. 다익스트라는 한 정점으로부터 다른 정점으로의 최단경로와 그 과정에서 거치는 간선들의 가중치 합을 알아낼 수 있습니다. 다익스트라는 알고리즘의 구조 상 다음과 같은 성질들을 가지게 됩니다. 그래프 내에 음의 가중치 합을 가지는 사이클이 있을 경우에, 다익스트라를 통한...
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Centroid of a Tree
Centroid of a Tree Centroid는 트리에서 문제를 해결하는 경우에 중요한 역할을 하는 경우가 많습니다. 이번 글에서는 트리에서 정의되는 centroid가 무엇인지, 어떤 성질을 가지고 있는지 그리고 어떻게 사용하는지 등을 알아보고자 합니다. Centroid 트리에서 centroid는, 어떤 정점 $v$가 크기 $n$짜리 트리 $T$에서 삭제했을 경우 생기는 subtree들이 모두 각각 크기가 $n/2$ 이하가 되는 경우, $v$를 $T$의 centroid라고 합니다. 위 그림에서는 1번 노드가 centroid 입니다. 1을 삭제했을 때 각각 크기가 3, 4, 4인 서브트리가 생기고 전체 트리의 크기는 11이므로...
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오일러 회로와 경로
이 글에서는 연결 무방향 단순 그래프를 다룹니다. 오일러 회로 그래프의 모든 간선을 단 한 번씩 지나서 시작점으로 돌아오는 경로를 오일러 회로라고 합니다. 연결 그래프면서 차수가 홀수인 정점이 없다면 오일러 회로가 존재합니다. 그리고 오일러 회로가 존재한다면 차수가 홀수인 정점이 없습니다. 오일러 회로와 관련된 문제를 풀기 위해서는 이 필요충분조건만 알고 있어도 되지만 아래에 서술할 증명이 간단하기에 한 번쯤 읽고 넘어가는 것을 추천합니다. 그래프에서 사이클이 존재하지 않기 위해선 트리가 되어야 하지만 트리에는 차수가 홀수(1개)인 리프 노드가 존재하기 때문에...
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Expander Decomposition and Pruning: Faster, Stronger, and Simpler
Expander Decomposition and Pruning: Faster, Stronger, and Simpler 알고리즘에서 분할 정복 은 큰 문제를 부분 문제로 나누는 과정을 뜻한다. 이 때 부분 문제들이 가져야 하는 특징은, 원래 문제보다 쉬워야 하고, 부분 문제를 합칠 수 있어야 한다. 예를 들어서, Heavy Light Decomposition은 트리에서 큰 문제를 부분 문제로 나누는 과정에서 자주 등장한다. 각 문제가 쉽고 (직선), 합치는 것이 가능 (Light edge를 통해서 묶음) 하기 때문이다. 트리의 경우에는 HLD 외에도 다양한 분할 정복 기법이 존재하지만, 그래프를 분할 정복하는...
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Queue Undo Trick
개요 최근에 소개된 아이디어라 한글 자료가 없어서 글을 작성하게 되었습니다. 자료구조의 업데이트 연산이 Amortized 시간복잡도를 갖지 않는다면 가장 최근에 한 업데이트를 취소하는 롤백 연산도 같은 시간복잡도에 구현할 수 있음이 알려져 있습니다. 이 글에서는 롤백 연산의 아이디어를 활용한, 가장 오래된 업데이트를 취소하는 Queue-Undo 연산에 대해 소개합니다. 이 연산은 기존의 Offline Dynamic Connectivity 알고리즘과는 달리 온라인으로 동작한다는 장점을 가지고 있습니다. 유니온-파인드 자료구조에 Queue-Undo 연산을 구현해서 연습 문제들을 해결할 것이기 때문에, 사전 지식으로 유니온 파인드를 알고 있음을 가정하고...
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Segment의 개수를 이용하는 순열 경우의 수 문제
소개 특정 조건을 만족하는 순열의 개수를 세는 문제 중에서, segment(이하 구간)의 개수를 이용하는 특이한 꼴의 다이나믹 프로그래밍 문제를 다뤄보려고 합니다. 예시 문제를 통해 살펴봅시다. 문제1. 길이가 $N$, Increasing segment의 개수가 $K$개인 순열의 개수 Increasing segment란, $l+1 \leq i \leq r$인 모든 $i$에 대해 $A_{i-1} < A_i$를 만족하는 $[l, r]$이라고 합니다. 단, 다른 increasing segment에 포함되는 구간은 무시하는 걸로 합시다. 예를 들어, $1\space4\space5\space2\space3\space6\space8\space7$의 increasing segment는 $[1, 3], [4, 7], [8, 8]$로 총 3개입니다. 우리는 길이가 $N$이고...
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Skew-binary Lifting
Table Of Contents Prerequisite Introduction Implementation Performance Analysis Benchmark Prerequisite Binary Lifting - Tutorial on cp-algorithms Introduction 안녕하세요, Aeren입니다! 이 글에서 소개할 내용은 skew-binary number system을 기반으로 한 skew-binary lifting입니다. 이 글은 An Applicative Random-Access Stack by Eugene W. MYERS을 기반으로 작성되었습니다. 일반적인 binary lifting과의 차이점 중 하나는 각 node $u$가 $O(\log(\textrm{depth}[u]))$ 대신 $O(1)$ 만큼의 공간을 필요로 한다는 것입니다. 표로 정리하면 다음과 같습니다. (Time) / (Additional Space Required) Operation Binary Lifting Skew-binary Lifting Add A...
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Top Tree로 Dynamic Tree 관리하기
Top Tree로 Dynamic Tree 관리하기 이 글을 읽기 이전에 동적 계획법을 최적화하는 9가지 방법 (4/4) 의 “Dynamic Tree DP” 단원을 이해하는 것이 좋다. 이 글은 해당 내용을 잘 이해하고 있다고 가정하고 설명한다. 그래프의 특수한 경우인 트리는 PS를 포함한 알고리즘 전반에서 자주 활용되는 구조이다. 트리는 일반적인 그래프에 비해 여러 방면으로 효율적으로 관리할 수 있다. 이러한 방법은 그 자체로도 관심의 대상이 되며, 그래프 문제를 풀 때도 다양하게 응용할 수 있다. 너무나도 중요하다는 사실이 잘 알려져 있으니, 구태여...
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Disjoint Set & Union-find
Disjoint Set Disjoint Set(서로소 집합, 분리 집합)이란 서로 공통된 원소를 가지고 있지 않은 두 개 이상의 집합을 말합니다. 모든 집합들 사이에 공통된 원소가 존재하지 않는다는 것을, 각 원소들은 하나의 집합에만 속함을 의미하므로, 모든 원소들은 자신이 속해있는 유일한 집합만을 가지게 됩니다. Disjoint set data structure를 사용하면 서로 다른 원소들이 같은 집합에 속해있는지, 혹은 속해있지 않은지를 판별하는데에 유용히 사용할 수 있습니다. 이를 활용하기 위해서는 Disjoint Set Union(DSU, 분리합집합) 자료구조를 만들 수 있어야 한다. 정의에 의해 Disjoint Set...
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Offline Incremental SCC
본 글에서는 간선이 하나씩 추가됨에 따라 SCC를 관리하는 Incremental SCC를 오프라인으로 처리하는 방법에 대해서 설명하겠습니다. Link Cut Digraph 문제를 보겠습니다. 문제를 간단하게 요약하자면 $N$개의 정점이 있고 $M$개의 간선을 추가하는 쿼리가 있을 때, 간선을 추가할 때마다 u에서 v로 가는 경로가 있고, v에서 u로 가는 경로가 존재하는 (u, v)(u < v, u != v)쌍의 개수를 구하는 문제입니다. 방향 그래프에서 u에서 v로, v에서 u로 갈 수 있다는 것은 u와 v가 서로 같은 SCC에 있다는 것을 의미합니다. 따라서 위...
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매트로이드에서의 Submodular Maximization에 대한 Deterministic algorithms
이 글에서는 매트로이드 상에서의 submodular maximization과 관련한 여러 연구의 결과들을 소개합니다. 보다 구체적으로는, 매트로이드와 submodular function 등 여러 개념의 정의를 소개하고, 매트로이드 상에서 submodular function을 최적화 하는 것이 실생활의 어떤 문제에 관련이 있는지 먼저 살펴봅니다. 그 후, 이 문제와 관련한 여러 연구 결과들을 살펴봅니다. 특히, 그 중에서도 (이 글에서는) 결정론적인 알고리즘들을 다룹니다. 1. 여러 개념 및 정의 먼저, submodular function 및 그에 대한 marginal gain을 정의합니다. 정의 1. 유한집합 $\mathcal{N}$에 대해 함수 $f : 2^\mathcal{N}...
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'촛불과 그림자' 해결 일지
혹시 기하 문제를 좋아하시나요? Problem Solving에 나오는 어려운 기하 문제는 다양한 예외처리와 기하 문제 특유의 방향성 때문에 인해 일반적으로 기피대상입니다. 우연히 맞닥뜨린 문제인 BOJ 18190번 ‘촛불과 그림자’도 악명 높은 기하 알고리즘 문제로, solved.ac에서 Ruby V로 평가되는 고난이도의 문제입니다. 알고리즘 구상부터 해결까지 대략 일주일 정도 걸린 시련의 길을 반면교사로 삼고자 이렇게 글을 쓰게 되었습니다. 이후엔 촛불과 그림자 문제의 상세한 아이디어와 풀이가 나오므로 유의하시기 바랍니다. ‘촛불과 그림자’란? 해결 일지 1월 14일: 구상 1월 15일: 첫 제출에서 59%까지...
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IOI 2020 및 SNUPC 2020 출제후기
SNUPC 2020 출제후기 SNUPC 2020에는 Div.1의 총 9문제중 절반 정도에 해당하는 4문제를 출제하였다. 재미있는 문제를 낼 수 있어서 만족스러웠다. 그리고 imeimi2000, TAMREF 등 여러 출제진 검수진들이 고생해 준 덕분에 문제 데이터와 지문의 퀄리티가 올라가서 성공적인 대회가 될 수 있었던 것 같다. 9문제 중 대부분이 자명하지 않고 아이디어를 필요로 하는 문제들이라서 아직 풀어보지 않은 분들은 시도해 보고 나서 글을 보면 좋을 것 같다. 자세한 풀이는 여기 에 있으니 여기에는 담지 않는다. A. 빈 문자열 만들기 링크...
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2020 ICPC Seoul Regional
Result Analysis 이번 서울 리저널에서의 각 대학 별 상위 팀은 다음과 같다. 서울대학교: Let Us Win ICPC WF (World Finals 진출 확정) KAIST: Everybody (World Finals 진출 매우 유력) 고려대학교: 1_Hoeaeng_2_Hawawang (World Finals 진출 예상) 숭실대학교: 181920 (World Finals 진출 가능성 있음) 성균관대학교: we need sleep 올해 서울 리저널은 관전자 입장에서 재밌게 볼 만한 요소가 아주 많은 대회였다. 그래서 관전 포인트도 좀 긴 편이다. 온사이트였으면 재밌었을 것 같은데 참 아쉽다. 서울대학교 내전. 올해 서울대학교는 예년처럼...
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P VS NP Question
P vs NP Question Contents 들어가며 P NP 란? 여러가지 NP문제들 PSPACE 와 NSPACE P = NP? 참고 들어가며 예전에 비해 프로그래밍이 좀 더 보편적인 분야로 자리잡으면서, 남녀노소 할 것 없이 많은 사람들이 프로그래밍을 접하고 있다. 또한 문제풀이로 알려진 Problem Solving 쪽을 많은 기업체 또는 학교에서 평가의 기준또는 test로 삼고 있다. 이러한 PS는 여러가지 분야가 있지만, 대부분이 주어진 제한적인 상황안에서 문제를 해결하게 된다. 보통 PS공부를 하기 위해서 알고리즘 공부가 필수라고 얘기한다. 그렇다면 알고리즘이란 무엇일까? 알고리즘을...
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UCPC 2020 출제 후기
국내에서 가장 불꽃 튀는 알고리즘 대회 중 하나인 UCPC 2020 예선이 지난 7월 25일에, 본선이 8월 1일에 진행되었습니다. 저는 예선의 E번 감자 농장, H번 사과나무 그리고 본선의 G번 그건 망고가 아니라 고양이예요를 출제할 기회를 얻었습니다. 이 포스팅에서는 UCPC에서 문제를 제출한 순간부터 대회가 끝날 때까지 문제 개발이 어떻게 이루어졌는지를 다루어보고자 합니다. 테스트 케이스 제작에 초점을 두지만, 일반적인 검수 과정에 있어서도 길라잡이가 될 수 있으리라 생각합니다. 제가 만든 문제들을 해부하듯이 설명하기 때문에, 풀이도 서술되어 있음에 유의해주시길 바랍니다....
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Lucas–Lehmer primality test
안녕하세요? 오늘은 $2^p - 1$꼴의 수(메르센 수)에 대해 소수 여부를 빠르게 판정할 수 있는 Lucas–Lehmer primality test에 대해 설명해보고자 합니다. 일반적인 소수 판정법은 시간이 굉장히 오래 소요됩니다. 가장 자명한 방법으로는 해당 숫자의 제곱근 이하의 소수들로 모두 나누어보는 방법이 있지만, 수가 어느 정도 커지면 사용하기 힘들어지게 됩니다. 더 큰 수에 대해 사용할 수 있는 알고리즘으로는 밀러-라빈 소수판정법이 있는데, 비결정론적인, 즉 확률에 의존한다는 단점이 있습니다. 하지만 특정 형태의 수에 대해서는, 굉장히 큰 숫자여도 해당 숫자가 소수인지를 결정론적으로...
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그래프의 간선 색칠 문제
그래프의 간선 색칠 문제 그래프 $G$가 주어질 때, 각 정점 $v$에 대해 자연수 색상 을 배정하여 간선으로 직접 연결된 정점 쌍마다 다른 색상을 배정해야 한다. 이 때, 배정된 최대 색상을 최소화해보자. 즉, 서로 다른 색의 수를 최소화해야 한다. 이 문제는 그래프의 정점 색칠 (Graph Coloring, Vertex Coloring) 문제로, NP-complete임이 잘 알려져 있다. 너무 어려우니까 다른 문제를 생각해 보자. 그래프 $G$가 주어질 때, 각 간선 $v$에 대해 자연수 색상 을 배정하여 간선으로 직접 연결된 정점 쌍마다...
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동적 계획법을 최적화하는 9가지 방법 (Chapter 4)
동적 계획법을 최적화하는 9가지 방법 (Chapter 4) 이 글은 Chapter 3에서 계속된다. 9. Dynamic Tree DP Dynamic Tree DP는 특수한 형태의 Tree DP를 최적화할 수 있는 방법으로, 일반적인 직선에서 행렬과 같은 구조를 사용하여 DP를 최적화하는 것과 비슷한 방식이다. 사실 Tree DP가 아니라 일직선에서 하는 DP 문제라 하더라도 최적화 방법이 자명하지 않기 때문에, 이 글에서는 먼저 일직선에서의 DP 최적화를 먼저 설명한다. (일직선에서의 이러한 DP 최적화를 부르는 말은 잘 모른다.) In Line 다음과 같은 문제를 생각해 보자....
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동적 계획법을 최적화하는 9가지 방법 (Chapter 3)
동적 계획법을 최적화하는 9가지 방법 (Chapter 3) 이 글은 Chapter 2에서 계속된다. 8. Circular LCS 두 문자열 $S, T$ 가 주어질 때 둘의 LCS를 구하는 문제는 잘 알려져 있고, $n = S, m = T$ 일 때 $O(nm)$ 보다 빨리 하기 힘든 것으로도 유명하다. Circular LCS 문제는 $S$ 를 Cyclic shift 할 수 있을 때, 각 cyclic shift에 대해서 LCS를 계산하는 문제이다. 기호로 표현하면, 모든 $0 \le i \le S - 1$ 에 대해, $LCS(S[i:]...
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Rabin fingerprint for problem solving
Rabin fingerprint란? Rabin fingerprint는 길이 $n$의 배열 $m$, 임의의 값 $\space x$에 대해 아래와 같은 수식을 가지는 일종의 해시 함수입니다. $f(x)=m_{0}+m_{1}x+\ldots +m_{n-1}x^{n-1}$ 주로, 라빈카프 알고리즘에서 사용되기 때문에 해당 알고리즘을 공부하신 분께는 친숙할텐데요. 위 해시함수를 응용하여 문제를 해결하는 방법에 대해서 소개하고자 합니다. 모든 설명에서 $x$가 $max(m_i)$보다 큰 상황을 가정합니다. 가장 긴 문자열(링크) $m_0$ ~ $m_i$를 $g(x,\space 0,\space i) = m_0 + m_1x + … + m_{i}x^{i}$와 같이 $m_j$ ~ $m_{j+i}$를 $g(x,\space j,\space j+i) = (m_jx^{j} +...
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Geometric spanning tree
Geometric Spanning Tree $d$ 차원 좌표공간 상에 크기 $N$ 의 점 집합 $S$ 가 주어졌을 때, 집합 $S$ 를 정점 집합으로 하며 각 정점 쌍마다 두 점의 거리를 가중치로 한 그래프를 생각할 수 있다. 이러한 그래프에서 최소 스패닝 트리를 찾는 문제를 Minimum Geometric Spanning Tree 라고 한다 (Encyclopedia of Algorithms 533p). 두 정점의 “거리” 를 지정하는 방법은 여러 가지가 존재하고, 이 거리계를 어떻게 지정하느냐에 따라서 문제를 해결하는 양상이 많이 달라진다. 일반적으로 사용하는 거리계는 $L_1$ metric...
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Mo's Algorithm on Trees
이 게시글은 LCA(lowest common ancestor)에 대한 지식이 선행되어야 하지만 본 글에서는 소개하지 않습니다. Mo’s Algorithm이란? Mo’s algorithm은 평방 분할(sqrt decomposition)의 일종의 활용 기법으로, 오프라인으로 구간 쿼리 문제를 해결할 때 사용할 수 있습니다. 이미 이에 관한 좋은 글이 있어 (링크)로 대체하겠습니다. Mo’s Algorithm on Trees? 위 Mo’s Algorithm을 Tree에서 하는 것을 의미합니다. Mo’s는 앞서 말씀드렸던 것처럼 구간 쿼리 문제를 해결할 때 쓰이기 때문에 트리에서의 쿼리를 구간 쿼리처럼 나타낼 필요가 있는데요. 이를 Euler Tour on Trees를 이용하여...
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Flow with demands
목차 1. 개요 2. Demands(수요)가 대체 뭐야? 3. Flow with demands 해결법 4. 응용 5. 문제풀이 6. 마무리 7. 참고자료 개요 이번에 소개할 알고리즘은 Flow with demands 입니다. 보통의 간선에 흐를 수 있는 유량에 상한이 있는 최대 유량 문제와 다르게 하한이 있는 최대 유량 문제를 효과적으로 해결하는 알고리즘 이며, 2016년도 한국 ACM-ICPC 예선 H번에서 이 알고리즘을 사용하게 됩니다. 기본적인 아이디어와 작동원리 등을 설명하고 실제로 문제풀이에 어디에 쓰이는지 보이고자 합니다. 일단 기본적으로 최대 유량에 대한 기본...
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Rabin-Karp 해싱의 충돌쌍 찾기
안녕하세요, 이번 글에서는 Rabin-Karp 해싱의 충돌쌍을 찾는 다양한 방법에 대해 알아보겠습니다. Rabin-Karp 해싱이란? Rabin-Karp 해싱은 문자열의 해쉬함수입니다. 이 글의 내용에서 알 수 있듯이 암호학적으로 안전한 함수는 아니지만 $O(N)$의 전처리를 거치고 나면 문자열 내의 임의의 substring의 해쉬 값을 $O(1)$에 알 수 있다는 특성 덕분에 해당 특성이 필요할 때 활용하면 효과적입니다. 또한 구현이 쉬운 편이기 때문에 굳이 암호학적으로 안전한 함수가 필요없는 상황일 경우에는 Java와 기본 String hashcode를 포함한 다양한 곳에서 사용되고 있습니다. 해싱에 대한 자세한 설명은 제...
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Knuth's Algorithm X
안녕하세요? 오늘은 Knuth’s Algorithm X에 대해 알아보도록 하겠습니다. Knuth’s Algorithm X는 기본적으로 Brute-Force 알고리즘의 일종이지만, 성능이 좋은 편에 속하고 그 과정이 상당히 아름답습니다. Knuth’s Algorithm X Knuth’s Algorithm X는 간단히 말해, 어떠한 집합의 exact cover를 찾는 알고리즘입니다. Exact cover란 무엇인지, 간단한 예시를 통해 살펴보도록 하겠습니다. 집합 X = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7}이 있고, 집합 X의 부분집합의 집합인 집합 S가 주어집니다. S = {A, B, C, D, E, F}라고 하고 각각을 다음과 같이...
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Cactus graph realization of degree sequence
Degree sequence 그래프에서, Degree sequence란 undirected graph의 각 정점의 차수(degree)를 늘어놓은 수열을 말한다. Graph realization problem이란, 수열이 주어졌을 때 그 수열을 degree sequence로 갖는 그래프를 실제로 construct하는 문제를 말한다. 여기서 다루는 그래프는 self-loop나 multiedge가 존재하지 않는 simple graph이다. 어떤 Degree sequence가 주어졌을 때, 이를 만족하는 simple graph가 존재할 조건은 Erdos - Gallai theorem 으로 널리 알려져 있다. 정리 1 (Erdos - Gallai theorem). $d_1 \ge d_2 \ge … \ge d_n \ge 0$ 가 finite simple...
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동적 계획법을 최적화하는 9가지 방법 (Chapter 2)
동적 계획법을 최적화하는 9가지 방법 (Chapter 2) 이 글은 Chapter 1에서 계속된다. 4. Knuth’s Optimization Recurrence: $DP[i][j] = Min_{i \le k < j}(DP[i][k] + DP[k + 1][j] + C[i][j])$ Condition: $C[i][j]$ is a Monge array, and satisfies $C[a][d] \ge C[b][c]$ for $a \le b \le c \le d$. Naive Complexity: $O(n^3)$ Optimized Complexity: $O(n^2)$ Knuth Optimization은 어떠한 구간을 쪼개는 형태의 동적 계획법을 최적화한다. Optimal Binary Search Tree 라고 알려진 문제를 Knuth가 $O(n^2)$ 동적 계획법으로 해결할...
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2018 ICPC world Finals C. Conquer the world와 Tree DP optimization
2018년 World Finals에서 어느 팀도 풀지 못했던 문제인 Conquer the world(https://www.acmicpc.net/problem/15691) 문제에 대한 풀이와 사용된 아이디어에 대해 간단히 소개한다. 문제 문제 자체는 굉장히 간단하다. edge마다 이동할 때 드는 cost가 있는 트리가 있고, vertex $i$에 현재 $X_i$명이 있으며 최종 상태에는 적어도 $Y_i$명이 있어야 할 때, 사용해야 하는 cost를 minimize하는 문제이다. Heavy-Light Decomposition 이미 상당히 유명해진 트릭인 heavy-light decomposition에 대해 먼저 간략히 설명하고 넘어갈 것이다. rooted tree에서 heavy edge란, vertex $v$의 자식들 중 가장 subtree의 크기가 큰(vertex...
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Exchange argument
Exchange argument란? 임의의 상태에서 매순간 손해보지 않으면서, 원소끼리의 교환을 통해 얻어지는 상태로 나아가는 것을 반복하면 최적의 상태를 얻을 수 있다는 탐욕적인 주장입니다. 이해를 위해 다양한 문제에서의 활용을 소개해보겠습니다. 구두 수선공(링크) 우리는 주어지는 작업의 순서를 정해서 최적의 작업순서를 정해야 합니다. 임의의 작업 순서가 정해졌을 때 비용은 $ (T_{k_1}) \times S_{k_2} + (T_{k_1}+T_{k_2}) \times S_{k_3} + … (T_{k_1}+T_{k_2}+…T_{k_{n_-1}}) \times S_{k_n} $ 이 됩니다. 여기서 $ i $ 번째와 $ i+1 $ 번째의 작업의 순서를 서로 바꾸는 시행에...
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동적 계획법을 최적화하는 9가지 방법 (Chapter 1)
동적 계획법을 최적화하는 9가지 방법 (Chapter 1) 동적 계획법(DP) 알고리즘의 시간 복잡도를 줄이는 기법에 대해서는 다양한 프로그래밍 대회에서 많이 출제된 바가 있다. 이러한 알고리즘은 굉장히 아름다운 방법으로 시간 복잡도를 줄이기 때문에 다양한 대회에서 인기가 많으나, 실제로 표준적인 알고리즘 교과서나 입문서에서 배우기는 힘든 내용이라 초심자가 시작하기 힘든 것이 단점이다. 현재 동적 계획법 최적화에 대해서 배울 수 있는 인터넷 자료들은 대부분 최신 자료가 아니기 때문에, 내가 알고 있는 동적 계획법 최적화 기법을 모두 소개함으로써 이 분야의 지식...
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Karger's Algorithm
안녕하세요? 저는 이번 글에서 Global Minimum Cut을 찾는 Karger’s algorithm에 대해 설명해보려고 합니다. Introduction 그래프를 두 집합 $S$, $T$로 나누는 것을 그래프의 cut이라고 합니다. 간선에 weight가 있는 그래프에서, 두 점 $s$와 $t$가 주어졌을 때 $s \in S$, $t \in T$를 만족하도록 그래프를 cut하는 상황을 생각해봅시다. 한 쪽 노드는 집합 $S$에, 다른 한 쪽은 $T$에 포함된 모든 edge들의 weight의 합을 cut의 크기라고 합니다. 이 때 크기가 가장 작은 최소 cut은 최대 유량과 같다는 사실(Min-cut Max-flow theorem)은...
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장애물을 포함하지 않는 가장 큰 직사각형 찾기
장애물을 포함하지 않는 가장 큰 직사각형 찾기 Motivation 계산기하에서 장애물을 포함하지 않는 가장 큰 도형을 찾는 것은 핵심적인 문제 중 하나이다. 다양한 거리계, 그리고 도형의 모양에 따라서 서로 다른 알고리즘들이 존재한다. 예를 들어서, 다음과 같은 문제들을 생각할 수 있다. A) $n$ 개의 점들이 있을 때, 이 점을 포함하지 않으며 넓이가 가장 큰 원은 무엇인가? B) $n$ 개의 점들이 있을 때, 이 점을 포함하지 않으며 넓이가 가장 큰 직사각형은 무엇인가? C) $n$ 개의 점들이 있을 때,...
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Prüfer sequence
소개 안녕하세요. 이번 글에서는 labeled tree를 unique한 수열로 나타내는 Prüfer sequence에 대해 소개해드리려고 합니다. 사실 문제 풀이에 많이 활용되는 개념은 아니지만, 이해하기 쉬우면서도 이를 적용해 풀 수 있는 몇 가지 재밌는(?) 문제가 있어 정리해 보았습니다. Prüfer Sequence Prüfer sequence는 $n$개의 정점을 가진 labeled tree를 다음의 알고리즘에 따라 길이 $n-2$의 수열로 나타낸 것입니다. 트리를 수열로 encode한다는 의미에서 encoding 알고리즘이라고 합니다. function Tree_to_Prüfer(T=(V,E)) a <- an empty array while |V| > 2: u <- leaf node with...
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Segment Tree Beats
안녕하세요. rdd6584로 활동하고 있는 권일우입니다. 이 글에서는 요즘 유행하는 segment tree beats(이하 세그비츠)에 대해서 소개하겠습니다. 이를 위해서는, segment tree with lazy propagation에 대한 지식이 선행되어야 하지만 여기서는 소개하지 않겠습니다. Segment Tree Beats segment tree beats의 beats는 일본 애니메이션 “angel beats”에서 따온 것으로 특별한 의미를 가지고 있지 않습니다. 그러면 세그비츠가 뭘까요? 세그비츠는 lazy propagation의 활용형으로 중단조건과 갱신조건을 적절히 조절하여 까다로운 구간 쿼리를 해결하는 방법 중 하나입니다. 아래와 같은 문제가 있습니다. 길이 $N$의 배열 $A$, 아래와 같은...
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Codeforces Virtual을 통한 스터디와 문제풀이
목차 1. 개요 2. Codeforces 3. 문제풀이 4. 마무리 개요 문제풀이를 하는 사람들 중에 코드포스는 본인의 실력을 가늠하기에 매우 훌륭한 지표입니다. 특히나 코드포스 블루(expert) 등급에 해당하는 사람들은 웬만한 회사의 코딩테스트는 쉽게 통과한다라는 말이 있을 정도로 본인의 실력의 지표로서는 매우 유용한 가치가 있습니다. 하지만 그런 지표뿐만이 아니라 본인의 실력을 늘리는데에도 코드포스 만큼 좋은 사이트는 몇 없습니다. 백준을 제외하고서라도 콘테스트 형식, 즉 제한된 시간에 빠른 알고리즘을 구상해내야하는 코딩테스트와 비슷한(물론, ACM-ICPC의 형태와 조금 더 가깝습니다.) 환경으로서 본인의 제한된...
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Persistent Segment Tree
안녕하세요, 이번 글에서는 Persistent Segment Tree 에 대해 알아보도록 하겠습니다. Segment Tree Persistent Segment Tree를 이해하기 위해서는 Segment Tree에 대한 이해가 선행되어야 합니다. 이미 대다수의 독자분들이 Segment Tree에 대해 알고 있겠지만 다시 한 번 짚고 넘어가겠습니다. Segment Tree는 배열을 여러 구간으로 나누어 관리하는 구조로, $N$개의 원소가 있을 때 구현에 따라 2배에서 4배 정도의 추가 공간이 필요하지만 원소의 변경, 특정 범위 내의 원소의 연산을 $lgN$에 수행할 수 있습니다. 구체적으로 배열 1 2 3 4 3 2...
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Counting the number of topologies on a finite set
Topology 수학에서, topological space란 다음 조건을 만족하는 집합 $X$와 $X$의 subset들의 collection $\tau$에 대해 ordered pair $ (X, \tau) $ 를 말한다. $ \phi, X \in \tau $ Any arbitrary union of members of $ \tau$ still belongs to $ \tau$. ($ \tau$의 원소들의 합집합은 $ \tau $의 원소이다) The intersection of any finite number of members of $ \tau$ still belongs to $ \tau$. ($ \tau$의 원소 유한개의 교집합은 $ \tau $의 원소이다) 이때...
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Half Plane Intersection
소개 안녕하세요. 이번 글에서는 반평면 교집합(Half Plane Intersection)에 대해 소개해드리려고 합니다. 반평면 교집합으로 풀 수 있는 몇 가지 재미있는 문제들이 있는데, 생각보다 관련 자료가 많지 않아서 간단하게나마 정리해 보았습니다. Half Plane Intersection 반평면(Half Plane)이란, 평면 상에 하나의 직선을 그었을 때 나누어지는 각각의 영역을 말합니다. 반평면들이 여러 개 모이면 그 교집합의 형태는 아래와 같이 볼록 다각형(convex hull)이 됩니다. 그럼 대체 이 교집합을 알면 어디에 써먹을 수 있을까요? 후술하겠지만 대표적으로는 볼록 다각형의 내접원을 구하는 데 활용할 수...
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$O(N^{1/4 + ε})$ 시간 복잡도에 소인수 분해하기
$O(N^{1/4 + \epsilon})$ 시간 복잡도에 소인수 분해하기 소인수 분해 문제는 합성수가 주어졌을 때 이를 소수들의 곱으로 표현하는 방법이다. 대한민국 초등학교 교과 과정에도 있을 정도로 잘 알려진 이 문제는 계산적인 관점에서 보았을 때 매우 어려운 문제 중 하나이다. 소인수 분해는 입력 크기에 대해 (숫자의 크기를 $N$ 이라고 하면, $\log N$ 에 대해) 다항 시간 복잡도 알고리즘이 존재하지 않는다. 이러한 “어려운” 성질 때문에 소인수 분해는 다양한 암호 알고리즘에 자주 사용된다. 소인수 분해는 간단한 $O(N^{1/2})$ 알고리즘이 존재하지만, 이보다...
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Suffix Automaton 구현과 그 응용
목차 1. 개요 2. 구현 3. 응용 4. 문제풀이 5. 마무리 6. 참고자료 개요 이 포스트를 쓰며 이번 포스트에서 살짝 양심고백을 한다면, 원리를 100% 이해하지 못하고 그 구현과 구현체만을 응용하는 것을 다루는 것을 리뷰하려고 합니다. Suffix Automaton의 구현과 동작이 모두 $O(N)$에 이루어지기 때문에 그 효율성 때문에 사용만 가능하다면 매우 유용할 것 입니다. Suffix Automaton의 원리를 전부 이해하고 구현한다면 참 좋겠지만, 아직 몇가지 소정리에 대해서 더 공부해야 이해가 제대로 될 것 같아서 구현방법만 집중적으로 설명하고, 응용에...
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Treap
목차 1. 개요 2. 개념 3. 구현 4. 응용 5. 문제풀이 6. 마무리 7. 참고자료 개요 이 포스트를 쓰며 언제 한번, Treap의 활용성에 대해서 적고 싶었다. 물론 여기서 내가 여러분에게 소개하고자 하는 것은 Treap을 BST로서 다루는 것이 아닌, 배열을 자유롭게 붙이고 떼고 뒤집는 것에 설명하기 위함이다. Treap은 기본적으로 BST로서 사용할 수 있지만, Splay Tree 처럼 배열을 다루는 데 사용할 수 있다. Splay Tree 처럼 여러가지의 method 들을 활용하여 amortized 시간을 내는것은 아니고, 확률에 의존하는 경향이...
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계산 복잡도 위계와 불리언 식
계산 복잡도 위계와 불리언 식 계산 이론은 전산학의 근간을 이루며, 컴퓨터를 사용하는 모든 학문의 수학적 분석에 있어서 중요한 역할을 한다. 계산 이론 분야의 $P = NP$ 난제는 컴퓨터 과학의 거의 모든 분야를 관통하는 중요한 문제이고. $P = NP$ 난제의 여러 중요한 실용적 의미와 그 악명높음은 이미 대중적으로도 잘 알려져 있다. 계산 이론의 내용은 전산학의 어떠한 부분을 다루더라도 만나게 되는 경우가 많지만, 대부분의 내용은 튜링 머신과 같은 복잡한 개념을 바탕으로 정의된다. 이러한 특징 때문에, 계산 이론의...
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Prime Number
목차 1. 개요 2. 개념 3. 구현 4. 문제풀이 5. 마무리 6. 참고자료 개요 이 포스트를 쓰며 학교 고급 알고리즘 시간에 Miller–Rabin Algorithm 에 대해서 공부하게 되었다. 매우 흥미로운 내용이 많았으며, 다른 사람들과 공유하면 좋겠다고 생각하여 소인수 분해 알고리즘 등의 다양한 알고리즘을 알게 된것을 포함하여 공유하고 싶어졌다. 이번 포스트에서는 그 알고리즘들의 구현과 실제 문제에 대해 어떻게 사용되는지 소개하고자 한다. 기본 지식 일단 최소한 Modulo Operation, 즉, 나머지 연산에 대해서 조금 설명할 필요가 있다. Mod 연산은...
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Matroid Intersection
Matroid Intersection Recall matroid $\mathcal{M} = (S, \mathcal{I})$ 에서 $S$는 유한집합, $ \mathcal{I} \subset 2^S$ 는 독립집합(independent set)들의 collection이다. 이 때, $I$는 다음 세 가지 조건을 만족하여야 한다. $\phi \in \mathcal{I}$ $Y \subset X, X \in \mathcal{I} \Rightarrow Y \in \mathcal{I}$ $X, Y \in \mathcal{I}, \lvert X \rvert < \lvert Y \rvert$ 이면 $X + y \in \mathcal{I}$ 를 만족하는 $y \in Y \setminus X$가 존재 매트로이드는 다양한 집합에서 정의될 수 있다. 그 중 대표적인...
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Berlekamp-Massey 알고리즘의 이해와 응용
Berlekamp-Massey 알고리즘의 이해와 응용 Berlekamp-Massey 알고리즘은 특정한 DP의 점화식을 찾아주는 알고리즘이다. $10^{18}$ 번째 피보나치 수를 찾기 위해서 행렬 곱셈을 짜고, 타일 채우기 문제를 풀기 위해서 수많은 점화식과 씨름하던 옛 시간은 이젠 안녕. 이제는 백트래킹 짜고 하드코딩해서 넣으면 끝난다. 이 글은 알고리즘의 구현법, 동작 원리나 증명에 대해서 거의 설명하지 않는다. 그 이유는 내가 구현법과 동작 원리, 증명을 모르기 때문이다. 알고리즘 구현은 여기에서 복붙해서 사용하면 된다. 이론적 배경지식이 상당히 깊지만, 그 활용도가 매우 높기 때문에, 일단 이해하지...
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Palindromic Tree
목차 1. 개요 2. 개념 3. 구현 4. 문제풀이 5. 마무리 6. 참고자료 개요 이 포스트를 쓰며 두달 전에 Manacher’s Algorithm 에 대해 소개했다. 이번에는 그것의 연장선상이며, 조금 지엽적이면서도 활용도가 높은 Palindromic Tree에 대해서 소개하고자 이 포스트를 쓰게 되었다. 이 포스트를 이해 하기 위해서는 간단한 오토마타에 대한 지식을 요구한다. 또한 KMP Algorithm에 대해 알고 있으면 이해하기 훨씬 수월하다. 또한 Manacher’s Algorithm 에 대한 지식이 없다면 Manacher’s Algorithm 에 대한 포스트를 한번 읽어보길 바란다. 또한 Trie에...
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Introduction to matroid
Matroid 정의 1. matroid $\mathcal{M} = (S, \mathcal{I})$ 에서 $S$는 유한집합, $\mathcal{I} \subset 2^S$ 는 독립집합(independent set)들의 collection이다. 이 때, $I$는 다음 세 가지 조건을 만족하여야 한다. $\phi \in \mathcal{I}$ $Y \subset X, X \in \mathcal{I} \Rightarrow Y \in \mathcal{I}$ $X, Y \in \mathcal{I}, \lvert X \rvert < \lvert Y \rvert$ 이면 $X + y \in \mathcal{I}$ 를 만족하는 $y \in Y \setminus X$가 존재 매트로이드는 다양한 집합에서 정의될 수 있다. 그 중 대표적인 예...
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특별한 정렬 알고리즘들 2
개요 이번 글에서는 지난 달 글에 이어서 조금 더 다양한 정렬 알고리즘을 소개해 보려고 합니다. 저번 글에서도 언급했지만 정렬의 종류는 엄청나게 다양하며, 이 글에서 소개하는 정렬 알고리즘들은 그들 중 극히 일부에 불과합니다. 개중에는 병렬 처리가 되거나 쓰기 연산이 극도로 비싼 등 매우 특수한 실행 환경에서만 이득이 되는 것들도 있고, 데이터가 거의 정렬된 상태에서 매우 효율적인 알고리즘, 또는 현실 세계의 데이터들에 적합하도록 고안된 알고리즘 등도 있었고, 마지막에 잠깐 언급한, 그저 재미를 위해서만 만들어낸, 비효율적이기만 한 알고리즘들도...
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Graph, SCC and BCC
목차 1. 개요 2. 개념 3. 구현 4. 문제풀이 5. 마무리 6. 참고자료 개요 이 포스트를 쓰며 DFS Numbering에 대한 많은 재미있는 사실들이 있다. 최근에 고급 알고리즘이라는 과목을 들으면서 DFS에서 Numbering을 할때 가지는 자체적인 성질과 그에 관련된 알고리즘들을 공부하게 되었다. SCC와 BCC가 그런것들이다. 이들은 PS에서 매우 유용하게 쓰일 수 있으며, 다양한 상황에 적용할 수 있고, 알아두는 것만으로 풀 수 있는 문제영역이 넓어진다. 또한 DFS Numbering 자체가 구현 자체가 쉬우므로 보통 Dynamic Programming 이나, 2-SAT등 다양한...
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특별한 정렬 알고리즘들
개요 정렬(Sorting)은 알고리즘 문제 풀이뿐 아니라, 어떤 분야의 프로그래밍을 하면서도 수없이 마주치는 문제입니다. 일반적으로 정렬에 대해 공부할 때는 $O(N^2)$이지만 기본 개념을 설명하기 위해 배우는 버블 정렬(Bubble sort), 삽입 정렬(Insertion sort), 선택 정렬(Selection sort) 등과, 보다 효율적으로 $O(NlogN)$ 시간에 해결해주는 퀵정렬(Quicksort), 병합 정렬(Merge sort), 힙정렬(Heapsort), 그리고 비교 기반이 아닌 자릿수(digit) 기반으로 $O(N)$에 해결하는 기수 정렬(Radix sort), 카운팅 정렬(Counting sort) 정도를 배우게 됩니다. 굉장히 많은 종류의 정렬을 배운 것 같지만, 정렬에 대해 더 깊이 파고 들어가보면 이...
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O(1) LCA Algorithm (with Sparse Table)
목표 및 문제 소개 LCA(Lowest Common Ancestor)란 루트가 정해진 트리에서, 두 노드 간의 공통 조상이면서 루트에서 가장 먼 노드를 뜻합니다. 노드가 $N$개인 트리에서 임의의 두 노드 간의 LCA를 쿼리당 $O(lgN)$에 구하는 알고리즘은 잘 알려져 있습니다. 각 노드별로 $ 2^k $ 번째 조상을 미리 계산해둔 뒤, Binary Lifting을 활용해 구하는 방식입니다. 이에 대한 지식이 부족하다면 링크 에서 먼저 공부한 뒤에 이 글을 읽으시는 것을 추천합니다. 이 글에서 소개하고자 하는 알고리즘과 밀접한 관련은 없지만, 전반적인 개념에 도움이...
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Perfect Elimination Ordering in Chordal Graph
개요 Chordal Graph Chordal Graph란, 길이 4 이상의 모든 simple cycle이 chord를 포함하는 그래프를 말한다. 여기서 chord란 cycle에 포함되는 edge는 아니지만 cycle에 포함하는 두 vertex를 잇는 edge를 뜻한다. 즉, 어떤 4개 이상의 vertex를 고르더라도 그 vertex들로 이뤄진 induced subgraph가 simple cycle이 되지 않는 그래프이다. 두 겹치는 구간을 edge로 연결한 Interval graph가 Chordal graph의 한 예이다. 위는 chordal graph의 예이다. 임의의 길이 4 이상인 cycle이 chord를 포함함을 쉽게 알 수 있다. 위는 chordal graph가 아닌 그래프의...
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Manacher's Algorithm
목차 1. 개요 2. 기본 3. 구현 4. 문제풀이 5. 마무리 6. 참고자료 개요 이 포스트를 쓰며 학기가 시작되어 모든 알고리즘들을 한번씩 보면서 넘어가던 도중 사람들이 잘 관심 가지지 않지만, 알아두면 재미있을법한 알고리즘인 Manacher’s Algorithm 을 소개해보고자 한다. Manacher’s Algorithm은 String 내에 존재하는 모든 Palindrome을 $O(N)$에 구하는 강력한 알고리즘이다. 물론 이 알고리즘이 실전에 출제되는 경우는 매우 드물지만 원리 자체가 재미있고 시간복잡도가 $O(N)$이 되는 원리가 재미있는 알고리즘이므로 자세하게 설명해보고자 한다. 팰린드롬 팰린드롬을 모르는 사람을 위해 간단히...
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효율적인 긴 문자열 연산을 위한 Rope 자료구조
로프와 쿼리 최근 백준 온라인 저지에 로프와 쿼리라는 이름의 베타 문제가 올라왔습니다. 그런데 문제 본문의 어디를 보아도 로프라는 단어는 쓰이지 않고, 줄과 관련되어 보이는 부분도 없습니다. 그저 문자열의 일부를 잘라서 앞이나 뒤로 옮기는 쿼리를 수행하는 문제일 뿐입니다. 그러면 이 문제의 이름은 왜 로프와 쿼리인 걸까요? 일반적인 문자열 자료구조로는? 우선 이 문제를 단순한 std::string 객체로 해결을 시도해 봅시다. #include <bits/stdc++.h> using namespace std; int main() { ios::sync_with_stdio(false); cin.tie(0); string s; cin >> s; int q; cin...
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Tree DP 문제 해결
목차 1. 개요 2. 기본 3. 구현 4. 문제풀이 5. 마무리 6. 참고자료 개요 이 포스트를 쓰며 알고리즘 공부를 하면서 오랫동안 다이나믹 프로그래밍을 그것도 트리에서 해결하는 문제를 꽤 안풀었음을 알았다. 그래서 오랜만에 다이나믹 프로그래밍 연습도 할겸 트리에서 해결하는 다이나믹 프로그래밍 문제를 몇가지 공유하고 같이 풀어보고자 한다. 이번 포스트를 통해 트리에서의 다이나믹 프로그래밍에 대한 문제를 재미있게 봐주었으면 한다. 간단한 원리 기본적으로 Top-down 방식으로 해결하며, 보통 leaf node 부터 값을 알아낸다. Top-down 방식의 DP에 익숙한 사람들은 문제를...
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Impartial Games
목차 $Impartial$ $game$ $Nim$ $game$ $Grundy$ $number$ 1. Impartial game $Impratial$ $game$ 이란 직역하면 공정한 게임이란 의미로, 게임 내에서 모든 플레이어가 동일한 조건으로 게임을 하는 것을 의미하는데, 이와 반대로 동일한 조건이 아닌 게임을 하는 것을 $Partisan$ $game$이라고 합니다. $Impartial$ $game$ 의 예로 우리가 흔히하는 베스킨라빈스 31이라는 게임이 있는데, 이 게임은 모든 플레이어가 동일하게 현재 숫자에서 1 ~ 3 사이의 수만큼 증가시키고 31이 될 경우 지게되는 게임이다. 이러한 $Impartial$ $game$에서 두 명의 플레이어가 있을 때 서로...