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edenooo

January 29, 2024

카운팅 테크닉

개요 AtCoder에서 문제를 풀다 보면 백준 온라인 저지나 한국의 대학생 대회에서와 다르게 경우의 수, 기댓값, 확률을 묻는 조합론 문제들이 더 자주 등장한다는 사실을 관찰할 수 있습니다. 한 대회에 출제된 문제 절반 이상에서 $\pmod{998244353}$이 등장해서 너무 과하다고 느껴질 때도 있을 정도입니다. 이 글에서는 제가 문제를 풀면서 자주 보았던 유형들을 몇 가지 선정해서 소개해 보려고 합니다. 각 유형마다 이를 해결하는 테크닉을 소개(널리 통용되는 이름이 없다면 적당히 이름을 붙였습니다)하고, 연습 문제로 AtCoder Regular Contest에서 등장했던 문제를 2개씩 선정했습니다....

algorithm mathematics combinatorics

edenooo

December 25, 2023

플로우 그래프 커팅

개요 Problem Solving을 하다 보면, 주어진 문제에서 플로우 그래프를 모델링했을 때 그래프의 크기가 너무 커서 단순히 플로우 알고리즘을 사용할 경우에 시간 초과를 받게 되는 상황이 종종 발생합니다. 이 글에서는 위와 같은 상황에서 추가적인 관찰을 통해 플로우 그래프의 크기를 줄이는 몇 가지 방법을 소개합니다. 문제마다 필요한 관찰과 해결 방법이 제각기 다를 수 있으므로 다양한 연습 문제를 예시로 들어서 설명하겠습니다. 디닉 알고리즘의 구현체를 통일하기 위해 AtCoder Library의 MaxFlow를 사용하겠습니다. 연습 문제 AtCoder Beginner Contest 320 G. Slot...

algorithm graph-theory maximum-flow

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November 26, 2023

Taylor Shift, Sampling Points Shift

개요 최근에 Polynomial Shift를 사용하는 문제를 여러 대회에서 보았기 때문에 이 글을 작성하게 되었습니다. 다항식 $f(x)$와 정수 $c$가 주어졌을 때 새로운 다항식 $f(x+c)$를 구하는 것을 Taylor Shift라고 부릅니다. $N$차 미만의 다항식 $f(x)$가 숨겨져 있고 값 $f(0), f(1), \cdots, f(N-1)$과 정수 $c,M$이 주어졌을 때 $f(c), f(c+1), \cdots, f(c+M-1)$을 구하는 것을 Sampling Points Shift라고 부릅니다. 위의 두 문제는 조합론 문제를 해결할 때 종종 유용한 도구가 되어 줍니다. 두 문제 모두 단순하게 풀면 너무 느리지만, FFT를 사용한다면 효율적으로...

algorithm mathematics FFT

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October 24, 2023

Relaxed Convolution (2)

개요 이전에 작성한 글에서는 Relaxed Convolution의 개념과 성질, 구현 방법에 대해서 다루었습니다. 이 글에서는 Relaxed Convolution을 Problem Solving에 활용하는 방법을 다룹니다. 연습 문제 AtCoder Beginner Contest 213 H. Stroll 문제 정점이 $N$개이고 간선이 매우 많은 무방향 그래프가 주어집니다. 간선 집합은 다음과 같은 방식으로 정의됩니다. $0 \leq i < M, 1 \leq d \leq T$를 만족하는 모든 $(i,d)$ 쌍에 대해, 두 정점 쌍 $(a_i, b_i)$를 잇는 길이가 $d$인 간선이 $p_{i,d}$개 존재합니다. 이 그래프의 $1$번 정점에서 출발해서...

algorithm divide-and-conquer FFT

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September 24, 2023

CDQ Divide and Conquer, Relaxed Convolution

개요 CDQ Divide and Conquer는 중국 프로그래머 CDQ의 이름을 딴 분할정복 기법의 일종입니다. 딱히 이름이 붙을 정도로 거창한 기법은 아니지만, 이후에 다룰 Relaxed Convolution의 이해를 돕기 위해 간단하게 소개하겠습니다. Relaxed Convolution은 CDQ Divide and Conquer를 사용해서 Convolution을 온라인으로 처리하는 알고리즘으로, Online Convolution, Online FFT, Relaxed Multiplication, Divide and Conquer FFT 등의 다양한 이름으로 불리기도 합니다. 이 글에서는 Relaxed Convolution이라는 용어를 일관적으로 사용하겠습니다. 이 글은 FFT의 작동 원리를 이해하지 않고 빠른 다항식 곱셈 라이브러리를 blackbox로 사용하더라도...

algorithm divide-and-conquer FFT

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August 20, 2023

Heavy-Light Decomposition Recursive DP

개요 Heavy-Light Decomposition Heavy-Light Decomposition(HLD)은 루트 있는 트리를 여러 개의 heavy chain으로 분할하는 알고리즘으로, 다음의 성질들을 만족합니다. 각 간선은 heavy edge 또는 light edge로 분류됩니다. 리프가 아닌 정점은 자식들 중 정확히 하나를 heavy child로 갖습니다. heavy child로 가는 간선은 heavy edge이고, 다른 자식으로 가는 간선은 모두 light edge입니다. heavy edge로 연결된 정점들의 묶음을 heavy chain이라 합니다. 각 heavy chain의 형태는 한 정점에서 출발해서 리프까지 내려가는 연속적인 경로가 되고, 모든 정점은 정확히 하나의 heavy chain에 속하게...

algorithm tree dynamic-programming heavy-light-decomposition

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July 25, 2023

Dulmage-Mendelsohn Decomposition (Part 2)

개요 이전에 작성한 글에서는 Dulmage-Mendelsohn Decomposition(DM 분해)의 개념과 성질을 소개하고 이를 구하는 방법에 대해서 다루었습니다. 이 글에서는 Dulmage-Mendelsohn Decomposition의 코드와 PS에서의 활용에 대해 다룹니다. 코드 이전 글에서 언급한 구현 방법을 그대로 사용할 것입니다. BipartiteMatching은 이분 그래프를 받아서 최대 매칭을 구한 뒤에 각 정점이 어느 정점과 매칭되었는지를 반환하는 함수입니다. Kuhn’s Algorithm으로 $O(VE)$에 구현했지만, 더 빠른 시간복잡도를 원한다면 Hopcroft-Karp Algorithm 등의 다른 구현체로 대체해서 사용해도 됩니다. StronglyConnectedComponents는 방향 그래프를 받아서 SCC들의 번호를 위상정렬 순으로 매기고, SCC의 개수와...

algorithm graph-theory

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June 25, 2023

Dulmage-Mendelsohn Decomposition (Part 1)

개요 이 글에서는 Dulmage-Mendelsohn Decomposition의 개념과 성질을 소개하고 이를 구하는 방법에 대해서 다룹니다. Dulmage-Mendelsohn Decomposition의 코드와 PS에서의 활용은 다음으로 이어지는 글에서 다루겠습니다. 사전 지식으로 이분 매칭과 SCC를 알고 있다고 가정하고 진행하겠습니다. Dulmage-Mendelsohn Decomposition(DM 분해)는 이분 그래프의 모든 최대 매칭의 구조를 알아내기 위해서 정점 집합을 여러 개의 부분집합들로 unique하게 분할하는 방법입니다. 구체적으로 예를 들면, DM 분해를 사용해서 아래와 같은 질문들에 대해 빠르게 답변할 수 있습니다. 주어진 이분 그래프의 각 정점 $u$에 대해, 모든 최대 매칭에서 $u$가...

algorithm graph-theory

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May 22, 2023

2023 SCON

개요 지난 5월 20일에 진행된 2023 SCON이 성공적으로 종료되었습니다. SCON은 Soongsil Programming Contest의 약자로, 숭실대학교 IT대학 재학생들을 대상으로 하는 ICPC 성격의 3인 팀 대회입니다. 이 글에서는 2023 SCON에 출제된 문제의 풀이에 대해서 다룹니다. 대회 개최와 운영에 관한 이야기는 운영진의 블로그(링크)에서 확인하실 수 있습니다. 문제 목록 대회에는 아래 목록의 10문제가 사용되었고, 저는 이 중에서 3문제(E,F,I)를 출제했습니다. SCON에는 competitive programming 분야에 익숙하지 않은 학생들이 다수 참가하며 대회 시간이 3시간으로 짧은 편이고, 교내 ICPC 수상자가 모두 출제진으로 빠졌음을...

programming-contest

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April 23, 2023

sweepline MO

개요 다음 문제를 생각해 봅시다. Static Range Inversions Query 길이가 $N$인 수열 $A = (A_1, A_2, \dots, A_{N})$가 주어지면, 다음 $Q$개의 쿼리를 수행해야 합니다. $(1 \leq N \leq 10^5, 1 \leq Q \leq 10^5, 0 \leq A_i \leq 10^9)$ $1 \leq l \leq r \leq N$을 만족하는 $l,r$이 주어지면, $l \leq i < j \leq r, A_i > A_j$ 를 만족하는 $(i,j)$쌍(=inversion)의 개수를 출력한다. 이 글에서는 다음의 내용들을 다룰 것입니다. Static Range Inversions Query 문제를...

algorithm data-structure

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September 21, 2021

트리 압축

개요 트리에 관한 문제를 풀다 보면, 일부 정점만이 쿼리로 들어왔는데 모든 정점을 검사하기에는 비효율적인 경우가 있습니다. 이 때 필요 없는 정점과 간선들을 지워서 새로운 트리를 만드는 기법을 트리 압축이라고 부릅니다. 다른 말로는 Virtual Tree / Auxiliary Tree라고도 합니다. 다음 예시를 통해 트리 압축이 정확히 무엇인지와 어떻게 구현하는지에 대해서 살펴보겠습니다. JOI Open Contest 2014. 공장들 정점이 $N$개인 간선 가중치 트리와 $Q$개의 쿼리가 주어집니다. $i$번 쿼리마다 서로소인 두 정점 부분집합 $S_i$와 $T_i$가 주어지면, $S_i$의 한 정점에서 $T_i$의...

algorithm tree

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July 19, 2021

서로 다른 수와 쿼리

개요 다음 문제를 생각해 봅시다. 수열과 쿼리 5 길이가 $N$인 수열 $A_1, A_2, \cdots, A_N$과 쿼리 $Q$개가 주어집니다. $i$번 쿼리마다 $l_i, r_i$가 주어지면, $[l_i,r_i]$ 구간에 존재하는 서로 다른 수의 개수를 구해야 합니다. ($1 \leq N \leq 10^5, 1 \leq Q \leq 10^5, 1 \leq A_i \leq 10^6, 1 \leq l_i \leq r_i \leq N$) 위 문제(이하 서로 다른 수와 쿼리 문제)는 problem solving을 하다 보면 가끔 맞닥뜨리게 되는데, 유명한 문제인 만큼 $O(N\sqrt{Q})$나 $O((N+Q)\log{N})$등의 다양한 풀이...

algorithm data-structure

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May 18, 2021

Integer Partition

개요 고등학교 교육과정의 확률과 통계 과목에서도 볼 수 있었던 자연수의 분할은 DP로 계산할 수 있어서 PS에서도 종종 등장하는 주제입니다. 이 글에서는 자연수 분할의 점화식과 빠르게 계산하는 방법, 그리고 문제풀이에서의 활용을 다룹니다. 자연수 $n$을 자연수 $k$개의 합으로 나타내는 방법의 수를 $P(n,k)$라고 합시다. 자연수 $n$을 분할하는 방법의 수를 $P(n)=\sum_{k=1}^{n}P(n,k)$이라 합시다. 예를 들어, 4를 분할하는 방법의 수는 위 그림처럼 5가지가 됩니다. $P(n,k)$를 $O(nk)$에 계산하는 방법 $P(n,k)$를 직접 구하는 간단한 공식은 알려져 있지 않고, 보통 점화식을 통해 계산합니다. 위...

mathematics combinatorics dynamic-programming

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April 18, 2021

Li Chao Tree의 Lazy Propagation

개요 리차오 트리는 직선들을 관리하는 동적 세그먼트 트리의 일종으로, Convex Hull Trick 등등에서 쓰이는 자료구조입니다. 다른 세그먼트 트리와 마찬가지로 리차오 트리에도 레이지 프로퍼게이션을 적용할 수 있지만, 이에 대해서는 잘 알려져 있지 않습니다. 이 글에서는 리차오 트리에 레이지 프로퍼게이션을 적용한 확장 연산들과 그 활용에 대해 소개합니다. 리차오 트리 좌표 범위가 $N$일 때, 기본적인 리차오 트리는 다음과 같은 연산들을 할 수 있습니다. insert(a,b) : 새로운 직선 $y=ax+b$를 삽입한다. $O(\log{N})$ get(x) : 주어진 $x$좌표에서 $y$좌표의 최솟값을 구한다. $O(\log{N})$...

data-structure

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March 25, 2021

Queue Undo Trick

개요 최근에 소개된 아이디어라 한글 자료가 없어서 글을 작성하게 되었습니다. 자료구조의 업데이트 연산이 Amortized 시간복잡도를 갖지 않는다면 가장 최근에 한 업데이트를 취소하는 롤백 연산도 같은 시간복잡도에 구현할 수 있음이 알려져 있습니다. 이 글에서는 롤백 연산의 아이디어를 활용한, 가장 오래된 업데이트를 취소하는 Queue-Undo 연산에 대해 소개합니다. 이 연산은 기존의 Offline Dynamic Connectivity 알고리즘과는 달리 온라인으로 동작한다는 장점을 가지고 있습니다. 유니온-파인드 자료구조에 Queue-Undo 연산을 구현해서 연습 문제들을 해결할 것이기 때문에, 사전 지식으로 유니온 파인드를 알고 있음을 가정하고...

algorithm data-structure