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Heavy-Light Decomposition Recursive DP
개요 Heavy-Light Decomposition Heavy-Light Decomposition(HLD)은 루트 있는 트리를 여러 개의 heavy chain으로 분할하는 알고리즘으로, 다음의 성질들을 만족합니다. 각 간선은 heavy edge 또는 light edge로 분류됩니다. 리프가 아닌 정점은 자식들 중 정확히 하나를 heavy child로 갖습니다. heavy child로 가는 간선은 heavy edge이고, 다른 자식으로 가는 간선은 모두 light edge입니다. heavy edge로 연결된 정점들의 묶음을 heavy chain이라 합니다. 각 heavy chain의 형태는 한 정점에서 출발해서 리프까지 내려가는 연속적인 경로가 되고, 모든 정점은 정확히 하나의 heavy chain에 속하게...
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Treewidth Parametrized Dynamic Programming for Local Graph Problems
Introduction Vertex Cover, Independent Set, Dominating Set 등은 복잡도 이론에 관심이 있다면 익히 들어보았을 법한 문제들입니다. 각 문제의 정의는 다음과 같습니다. 무방향 단순그래프 $G = (V, E)$에 대해, Vertex Cover: 모든 $e = (u, v) \in E$에 대해 $u \in S 또는 $v \in S$를 만족하는 $S \subseteq V$를 찾아라. Independent Set: 모든 $u, v \in S$에 대해 $(u, v) \notin E$인 $S \subseteq V$를 찾아라. Dominating Set: 모든 $v \in V$에 대해 $v \in...
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Sum over Subsets (SOS) DP
이번 글에서는 다이나믹 프로그래밍으로 Sum over Subsets (SOS) 문제를 푸는 방법을 대해 소개하겠습니다. SOS DP는 Codeforces에서 중상급 난이도의 문제로 종종 출제되는 흥미로운 테크닉이지만, 지금껏 한국어 자료를 찾아보기 어려웠기 때문에 SOS DP를 소개하는 Codeforces 블로그 글의 구성을 참고해서 한국어 소개글을 작성해 보았습니다. 또한 기존 글에서 한발 나아가서 어떤 직관을 통해 SOS DP를 이해할 수 있는지도 소개하려고 합니다. 이 글에서는 다음과 같은 표기를 사용할 것입니다. 비트마스크를 집합처럼 취급합니다. 예를 들어, $1101_{(2)} = 2^0 + 2^2 + 2^3$은...
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Integer Partition
개요 고등학교 교육과정의 확률과 통계 과목에서도 볼 수 있었던 자연수의 분할은 DP로 계산할 수 있어서 PS에서도 종종 등장하는 주제입니다. 이 글에서는 자연수 분할의 점화식과 빠르게 계산하는 방법, 그리고 문제풀이에서의 활용을 다룹니다. 자연수 $n$을 자연수 $k$개의 합으로 나타내는 방법의 수를 $P(n,k)$라고 합시다. 자연수 $n$을 분할하는 방법의 수를 $P(n)=\sum_{k=1}^{n}P(n,k)$이라 합시다. 예를 들어, 4를 분할하는 방법의 수는 위 그림처럼 5가지가 됩니다. $P(n,k)$를 $O(nk)$에 계산하는 방법 $P(n,k)$를 직접 구하는 간단한 공식은 알려져 있지 않고, 보통 점화식을 통해 계산합니다. 위...
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동적 계획법 모델화하기
서론 세상에는 수없이 많은 알고리즘 문제가 있습니다. 그러나 새로운 문제를 볼 때마다 항상 지금껏 보지 못한 새로운 기법을 사용해야 하는 것은 아닙니다. 문제의 특성을 파악하고, 조건들을 이용하여 자신이 아는 문제로 변환한 뒤, 이전에 다른 문제를 풀 때 사용했던 기법을 비슷하게 적용하여 풀 수 있기도 합니다. 이처럼 많은 문제는 몇 가지 정해진 전형적인 형태로 모델화 되는 경우가 많습니다. 반면에 큰 알고리즘 분류 중에 많은 사람들이 처음 접할 때 큰 벽을 느끼는 분야가 있습니다. 바로 동적 계획법(dynamic...
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동적 계획법을 최적화하는 9가지 방법 (Chapter 4)
동적 계획법을 최적화하는 9가지 방법 (Chapter 4) 이 글은 Chapter 3에서 계속된다. 9. Dynamic Tree DP Dynamic Tree DP는 특수한 형태의 Tree DP를 최적화할 수 있는 방법으로, 일반적인 직선에서 행렬과 같은 구조를 사용하여 DP를 최적화하는 것과 비슷한 방식이다. 사실 Tree DP가 아니라 일직선에서 하는 DP 문제라 하더라도 최적화 방법이 자명하지 않기 때문에, 이 글에서는 먼저 일직선에서의 DP 최적화를 먼저 설명한다. (일직선에서의 이러한 DP 최적화를 부르는 말은 잘 모른다.) In Line 다음과 같은 문제를 생각해 보자....
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동적 계획법을 최적화하는 9가지 방법 (Chapter 3)
동적 계획법을 최적화하는 9가지 방법 (Chapter 3) 이 글은 Chapter 2에서 계속된다. 8. Circular LCS 두 문자열 $S, T$ 가 주어질 때 둘의 LCS를 구하는 문제는 잘 알려져 있고, $n = S, m = T$ 일 때 $O(nm)$ 보다 빨리 하기 힘든 것으로도 유명하다. Circular LCS 문제는 $S$ 를 Cyclic shift 할 수 있을 때, 각 cyclic shift에 대해서 LCS를 계산하는 문제이다. 기호로 표현하면, 모든 $0 \le i \le S - 1$ 에 대해, $LCS(S[i:]...
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동적 계획법을 최적화하는 9가지 방법 (Chapter 2)
동적 계획법을 최적화하는 9가지 방법 (Chapter 2) 이 글은 Chapter 1에서 계속된다. 4. Knuth’s Optimization Recurrence: $DP[i][j] = Min_{i \le k < j}(DP[i][k] + DP[k + 1][j] + C[i][j])$ Condition: $C[i][j]$ is a Monge array, and satisfies $C[a][d] \ge C[b][c]$ for $a \le b \le c \le d$. Naive Complexity: $O(n^3)$ Optimized Complexity: $O(n^2)$ Knuth Optimization은 어떠한 구간을 쪼개는 형태의 동적 계획법을 최적화한다. Optimal Binary Search Tree 라고 알려진 문제를 Knuth가 $O(n^2)$ 동적 계획법으로 해결할...
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2018 ICPC world Finals C. Conquer the world와 Tree DP optimization
2018년 World Finals에서 어느 팀도 풀지 못했던 문제인 Conquer the world(https://www.acmicpc.net/problem/15691) 문제에 대한 풀이와 사용된 아이디어에 대해 간단히 소개한다. 문제 문제 자체는 굉장히 간단하다. edge마다 이동할 때 드는 cost가 있는 트리가 있고, vertex $i$에 현재 $X_i$명이 있으며 최종 상태에는 적어도 $Y_i$명이 있어야 할 때, 사용해야 하는 cost를 minimize하는 문제이다. Heavy-Light Decomposition 이미 상당히 유명해진 트릭인 heavy-light decomposition에 대해 먼저 간략히 설명하고 넘어갈 것이다. rooted tree에서 heavy edge란, vertex $v$의 자식들 중 가장 subtree의 크기가 큰(vertex...
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동적 계획법을 최적화하는 9가지 방법 (Chapter 1)
동적 계획법을 최적화하는 9가지 방법 (Chapter 1) 동적 계획법(DP) 알고리즘의 시간 복잡도를 줄이는 기법에 대해서는 다양한 프로그래밍 대회에서 많이 출제된 바가 있다. 이러한 알고리즘은 굉장히 아름다운 방법으로 시간 복잡도를 줄이기 때문에 다양한 대회에서 인기가 많으나, 실제로 표준적인 알고리즘 교과서나 입문서에서 배우기는 힘든 내용이라 초심자가 시작하기 힘든 것이 단점이다. 현재 동적 계획법 최적화에 대해서 배울 수 있는 인터넷 자료들은 대부분 최신 자료가 아니기 때문에, 내가 알고 있는 동적 계획법 최적화 기법을 모두 소개함으로써 이 분야의 지식...
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이진탐색의 확장 - 트리에서의 효율적인 탐색
서론 이진탐색은 정렬된 $N$개의 원소가 있을 때, 원하는 수의 위치를 $O(\log N)$ 시간에 찾는 테크닉이다. 이 글에서는 이진탐색을 트리로 확장할 것이다. 그리고 트리에서도 원하는 수의 위치를 $O(\log N)$시간에 찾을 수 있다는 증명과, 비교연산을 최소로 하는 방법을 설명할 것이다. 이진탐색 탐색이란 숨겨진 $a$ 이상 $b$이하의 정수 $x$에 대해, 이 $x$를 찾는 과정이다. 이진탐색에서는 다음과 같은 질문을 할 수 있다: “어떤 수 $y$ 에 대해, $y$와 $x$의 대소관계는 무엇인가?” $y$가 $x$보다 크다는 답이 돌아오면, 우리는 $x$가 $y+1$...
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Atcoder Educational DP contest 풀이
Atcoder에서 열렸던 Educational DP contest 문제들에 대한 풀이입니다. 자주 나오는 다이나믹 프로그래밍 유형들을 연습할 수 있는 좋은 셋이라고 생각합니다. 문제마다 간략한 풀이를 작성했습니다. 코드는 Atcoder에서 자유롭게 열람이 가능하므로 문제마다 링크를 달아두었습니다. 어느정도는 난이도 순서대로 정렬되어 있지만, 사람마다 느끼는 난이도가 다를 수 있습니다. A. Frog 1 문제 링크 $d_i :$ $i$ 번째 Stone까지 도달하는 최소 비용 $d_i = min(d_{i-1} + h_i - h_{i-1} ,\ d_{i-2} + h_i - h_{i-2} )$ 위와 같은 점화식으로 간단히 해결할 수...